Método característico

El método de las características es un método para resolver ecuaciones diferenciales parciales . Por lo general, se aplica a la solución de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, pero también se puede aplicar a la solución de ecuaciones hiperbólicas de orden superior .

Principio

El método consiste en reducir la ecuación diferencial parcial a una familia de ecuaciones diferenciales ordinarias .

Esto requiere encontrar curvas (llamadas características ) a lo largo de las cuales la ecuación diferencial parcial se convierte en una ecuación diferencial ordinaria. Tan pronto como se encuentran las ecuaciones diferenciales ordinarias, se pueden resolver a lo largo de las características y la solución encontrada se puede convertir en una solución de la ecuación diferencial parcial original.

Ejemplos

Ecuación cuasilineal en el plano

Considere la siguiente ecuación cuasilineal con respecto a la función desconocida $tu(x,y)$

a(x,y,u)\cdot u_{x}+b(x,y,u)\cdot u_{y}=c(x,y,u).

Considere una superficie en . La normal a esta superficie está dada por ${\ estilo de visualización z = u (x, y)}$ $\mathbb{R} ^{3}$

{\ estilo de visualización (u_ {x} (x, y), u_ {y} (x, y), -1).}

Como resultado, obtenemos que la ecuación es equivalente al enunciado geométrico de que el campo vectorial

{\ estilo de visualización (a (x, y, z), b (x, y, z), c (x, y, z))}

es tangente a la superficie en cada punto. ${\ estilo de visualización z = u (x, y)}$

En este caso, las ecuaciones características se pueden escribir como [1] :

{\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z) )}},

o, si x ( t ), y ( t ), z ( t ) son funciones del parámetro t :

{\begin{matriz}{rcl}{\frac {dx}{dt}}&=&a(x,y,z)\\{\frac {dy}{dt}}&=&b(x,y,z )\\{\frac{dz}{dt}}&=&c(x,y,z).\end{matriz}}

Es decir, la superficie está formada por una familia de curvas descritas de un parámetro. Tal superficie está completamente definida por una única curva transversal al campo vectorial sobre ella . ${\ estilo de visualización z = u (x, y)}$ $(a B C)$

La ecuación del transporte

Considere un caso especial de la ecuación anterior, la llamada ecuación de transporte (surge al resolver el problema de la expansión libre de gas en un vacío):

a\cdot u_{x}+u_{t}=0

donde es una constante y es una función de variables y . $a$ $tu$ $X$ $t$

Nos gustaría reducir esta ecuación diferencial parcial de primer orden a una ecuación diferencial ordinaria a lo largo de la curva correspondiente, es decir, obtener una ecuación de la forma

{\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s))

donde es una característica. ${\ estilo de visualización (x (s), t (s))}$

Primero establecemos

{\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\u parcial}{\x parcial}}{\frac {dx}{ds}}+{\ frac {\u parcial}{\t parcial}}{\frac {dt}{ds}}

Ahora, si ponemos y , obtenemos ${\frac{dx}{ds}}=a$ ${\frac{dt}{ds}}=1$

a{\frac {\parcial u}{\parcial x))+{\frac {\parcial u}{\parcial t))

, que es el lado izquierdo de la ecuación de transporte con la que comenzamos. De este modo,

{\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\parcial u}{\parcial x}}+{\frac {\parcial u}{\parcial t}}=0.

Como puede ver, la ecuación original se convierte en una EDO a lo largo de la característica , lo que significa que la solución es constante a lo largo de las características. Así, , donde los puntos y se encuentran en la misma característica. Se puede observar que para encontrar la solución general, basta encontrar las características de la ecuación resolviendo el siguiente sistema de ODEs: ${\ estilo de visualización (x (s), t (s))}$ $u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0$ $u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)$ ${\ estilo de visualización (x_ {s}, t_ {s})}$ ${\ estilo de visualización (x_ {0}, 0)}$

${\frac{dt}{ds}}=1$ , cuando la solución es , ${\ estilo de visualización t (0) = 0}$ ${\ estilo de visualización t = s}$
${\frac{dx}{ds}}=a$ , cuando la solución es , $x(0)=x_{0}$ ${\displaystyle x=como+x_{0}=en+x_{0))$
${\frac{du}{ds}}=0$ , cuando la solución es . ${\ estilo de visualización u (0) = f (x_ {0})}$ $u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)$

En nuestro caso, las características son una familia de rectas con pendiente , y la solución permanece constante a lo largo de cada una de las características. $a$ $tu$

Enunciado del problema de Cauchy

Para seleccionar una solución particular de una general, es necesario plantear el problema de Cauchy, como en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias. La condición inicial se da en la hipersuperficie inicial S:

$u|_{S}=f(x)$

En el caso general, es casi imposible formular una condición para la solución global del problema de Cauchy, pero si nos restringimos a la condición de solución local, podemos usar el siguiente teorema:

Una solución del problema de Cauchy en la vecindad de un punto existe y es única si la característica que lo atraviesa es transversal a la superficie S [2] ${\ estilo de visualización x_ {0} \ en S}$ ${\ estilo de visualización x_ {0))$

Notas

↑ Delgado, 1997
↑ E. A. Kuznetsov, D. A. Shapiro MÉTODOS DE FÍSICA MATEMÁTICA. Parte I - PDF Descarga gratuita . docplayer.ru Recuperado: 19 de enero de 2020. (indefinido)

Literatura

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