Árbol métrico

Un árbol métrico (o -tree) es un cierto tipo de espacios métricos . Son los ejemplos más simples de espacios hiperbólicos en el sentido de Gromov ; se pueden definir como espacios 0-hiperbólicos en el sentido de Gromov , es decir, todos sus triángulos son cero-delgados . $\matemáticas {R}$

Surgen de forma natural en la teoría de grupos geométricos y la teoría de la probabilidad .

Definición

Un espacio geodésico es un árbol métrico si es un espacio donde cada triángulo es un trípode; en otras palabras, si para cada triángulo hay un punto que se encuentra en las tres geodésicas . $X$ ${\ estilo de visualización [xyz]}$ $pags$ ${\ estilo de visualización [xy], [yz], [zx]}$

Propiedades

Un espacio geodésico es un árbol métrico si y solo si la siguiente desigualdad se cumple para cuatro puntos cualesquiera: $X$ ${\ estilo de visualización p, q, x, y \ en X}$ $|pq|_{X}+|xy|_{X}\leqslant \max\{\,|px|_{X}+|qy|_{X},|py|_{X}+ |qx|_{X}\,\},$

donde denota la distancia entre puntos y en espacio métrico .

{\ estilo de visualización | pq | _ {X}}

pags

q

X

Si es una secuencia de espacios -hiperbólicos, y para , entonces el ultralímite es un árbol métrico. $X_n$ ${\ estilo de visualización \ delta _ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ delta _ {n} \ a 0}$ $n\to\infty$ $X_n$
- En particular, el cono en el infinito de un espacio hiperbólico es un árbol métrico. $\delta$

Ejemplos

Si es un gráfico con una métrica combinatoria, entonces es un árbol de métricas si y solo si el gráfico es un árbol (es decir, no tiene ciclos). $X$ $X$
Una línea real, a cada punto del cual está pegado a lo largo de la línea real.