Modelo proyectivo
El modelo proyectivo ( modelo de Klein , modelo de Beltrami-Klein ) es un modelo geométrico de Lobachevsky propuesto por el matemático italiano Eugenio Beltrami . El matemático alemán Felix Klein lo desarrolló de forma independiente.
Con su ayuda, la consistencia de la geometría de Lobachevsky se demuestra bajo el supuesto de la consistencia de la geometría euclidiana .
Historia
Este modelo fue propuesto por Beltrami , junto con el modelo de Poincaré y el modelo de pseudoesfera [1]
Incluso antes, en 1859, Cayley construyó este modelo . Pero lo consideró solo como una cierta construcción en geometría proyectiva y, aparentemente, no notó ninguna conexión con la geometría no euclidiana . En 1869, un joven (20 años) Klein conoció su trabajo . Recuerda que en 1870 dio un informe sobre el trabajo de Cayley en un seminario de Weierstrass y, como escribe, "lo terminó preguntando si había una conexión entre las ideas de Cayley y Lobachevsky. Recibí una respuesta de que estos son dos sistemas que están muy separados en concepto ". Como dice Klein, “me dejé persuadir por estas objeciones y dejé de lado el pensamiento que ya había madurado”. Sin embargo, en 1871 retomó esta idea, la formalizó matemáticamente y la publicó [2] .
Modelo
El plano de Lobachevsky está representado en este modelo por un disco abierto delimitado por un círculo , llamado absoluto . Los puntos del absoluto, también llamados "puntos ideales", ya no pertenecen al plano de Lobachevsky. La línea recta del plano de Lobachevsky es una cuerda del absoluto que conecta dos puntos ideales.
Los movimientos de la geometría de Lobachevsky en el modelo proyectivo se declaran transformaciones proyectivas del plano, traduciendo el interior del absoluto en sí mismo. Congruentes son las figuras dentro de lo absoluto, traducidas entre sí por tales movimientos. Si los puntos y se encuentran en la cuerda de modo que su orden en la línea , entonces la distancia en el plano de Lobachevsky se define como
donde denota la doble razón , es el radio de curvatura del plano de Lobachevsky.
Notas
- Cualquier hecho de la geometría euclidiana descrito en tal lenguaje representa algún hecho de la geometría de Lobachevsky. En otras palabras, cualquier afirmación de la geometría no euclidiana en el plano de Lobachevsky no es más que una afirmación de la geometría euclidiana en el plano, refiriéndose a las figuras dentro del círculo, recontadas en los términos indicados.
- El axioma de Euclides sobre las paralelas claramente no se cumple en este modelo, ya que por un punto que no pertenece a una cuerda dada , pasan cualquier número de cuerdas que no lo cortan.
Propiedades
- Las cuerdas que se encuentran en el círculo límite corresponden a líneas asintóticamente paralelas .
- Dos cuerdas son perpendiculares si, extendidas más allá del disco, cada una pasa por el polo de la otra ( el polo de la cuerda es el punto de intersección de las tangentes a la absoluta en los puntos extremos de la cuerda). Las cuerdas que pasan por el centro del disco tienen un polo en el infinito ortogonal a la dirección de la cuerda (de ahí se sigue que los ángulos rectos de los diámetros no están distorsionados).
- Los círculos en el modelo se convierten en elipses ;
- Los horociclos corresponden a una elipse que tiene contacto con el absoluto de orden 4.
- La línea equidistante corresponde a los arcos de elipses que tocan el absoluto en dos puntos absolutos de esta línea.
Literatura
- Klein F. Sobre la denominada geometría no euclidiana. En la colección: Fundamentos de Geometría, M., GITTL, 1956.
- Shafarevich I. R., Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría, cap. XII - Fizmatlit, Moscú, 2009.