Transformación proyectiva

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Una transformación proyectiva de un plano proyectivo es una transformación que lleva líneas a líneas.

Definición

Una transformación proyectiva es un mapeo uno a uno de un espacio proyectivo sobre sí mismo que preserva la relación de orden del conjunto parcialmente ordenado de todos los subespacios. $\fi$

Una transformación proyectiva de una línea es una transformación biyectiva de una línea que toma un cuádruple armónico de puntos en un cuádruple armónico de puntos.

Una transformación proyectiva de un plano es un mapeo uno a uno del plano proyectivo sobre sí mismo, de modo que para cualquier línea directa, la imagen también es una línea directa. $\phi \colon \pi \to \pi$ $\Pi$ $l\subconjunto\pi$ ${\ estilo de visualización \ phi (l)}$

Propiedades

La transformación proyectiva conserva la relación dual .
Una transformación proyectiva es un mapeo uno a uno del conjunto de puntos del plano proyectivo, y también es un mapeo uno a uno del conjunto de líneas.
Un mapeo inverso a uno proyectivo es un mapeo proyectivo. La composición de los mapeos proyectivos es un mapeo proyectivo. Así, el conjunto de mapeos proyectivos forma un grupo .
La proyección central es un caso especial de transformación proyectiva.
Una transformación afín es un caso especial de una proyectiva.
Cada línea del plano bajo una transformación proyectiva del plano se asigna proyectivamente a alguna línea. Cada haz de rayos del plano se asigna proyectivamente a un haz de rayos.
La transformación proyectiva de una línea recta se determina especificando tres pares de puntos correspondientes al mapeo. Esta afirmación a veces se llama el teorema fundamental de la geometría proyectiva.
Una transformación proyectiva de un plano se define especificando cuatro pares de puntos correspondientes al mapeo, y tres puntos de las cuatro imágenes o preimágenes no se encuentran en la misma línea recta. Para un mapeo no idéntico, el número de puntos fijos es como máximo tres.
Cada transformación proyectiva de un plano viene dada por una transformación lineal reversible del espacio tridimensional que le corresponde. En coordenadas homogéneas, se representa por las ecuaciones: ${\begin{casos}\lambda x_{1}'=c_{{11}}x_{1}+c_{{12}}x_{2}+c_{{13}}x_{3}\\\lambda x_{2}'=c_{{21}}x_{1}+c_{{22}}x_{2}+c_{{23}}x_{3}\\\lambda x_{3}'=c_{ {31}}x_{1}+c_{{32}}x_{2}+c_{{33}}x_{3}\end{casos}}$

y .

\det(c_{{ij}})\neq 0

Perspectiva

Sean 2 rectas distintas en el plano proyectivo y un punto O que no les pertenezca . Un mapeo en perspectiva de una línea sobre una línea con centro O es un mapeo , donde para un punto arbitrario, el punto se encuentra como la intersección de y . Este mapeo se denota como: que dice " traducido a una línea recta por un mapeo de perspectiva centrado en O " o como sigue: que dice "los puntos se traducen por un mapeo de perspectiva centrado en O en puntos ". ${\ estilo de visualización u_{1},u_{2))$ $tu_{1}$ ${\ Displaystyle tu_ {2}}$ ${\ estilo de visualización \ psi: u_ {1} \ a u_ {2}}$ ${\ estilo de visualización A \ en u_ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ psi (A)}$ $OA$ ${\ Displaystyle tu_ {2}}$ $u_{1}{\overset {O}{\doublebarwedge}}u_{2},$ $tu_{1}$ ${\ Displaystyle tu_ {2}}$ $ABC\ldots {\overset {O}{\doublebarwedge}}A'B'C'\ldots,$ $A,B,C,\ldots$ $A',B',C',\ldots$

El mapeo en perspectiva es biyectivo, conserva el punto de intersección de las líneas y conserva la relación dual del cuádruple de puntos . ${\ estilo de visualización u_{1},u_{2))$

Cualquier mapeo proyectivo de una línea a otra se puede representar como una composición de mapeos de perspectiva. El mapeo proyectivo se denota $tu_{1}$ ${\ Displaystyle tu_ {2}}$ $ABCD\barcuña A'B'C'D'.$

Involución

Una transformación proyectiva se llama involución si para cualquier punto P es cierto que . $\fi$ ${\ estilo de visualización \ phi (\ phi (P)) = P}$

Si es una involución, entonces . $\fi$ ${\ estilo de visualización \ phi ^ {-1} = \ phi}$

Si una transformación proyectiva de una línea tiene al menos un punto P tal que , entonces es una involución. $\fi$ ${\ estilo de visualización \ phi (\ phi (P)) = P}$ $\fi$

Si una involución no idéntica de la línea proyectiva tiene puntos fijos, entonces su número es dos o cero. Una involución que tiene 2 puntos fijos se llama hiperbólica. La involución hiperbólica intercambia puntos que están armónicamente conjugados con respecto a puntos fijos. Una involución sin puntos fijos se llama elíptica.

Una involución se define especificando dos pares de puntos correspondientes.

Tres pares de lados opuestos de un cuadrilátero completo cortan cualquier recta (que no pase por un vértice) en tres pares de puntos de la misma involución (este enunciado se denomina teorema de Desargues, aunque su origen se puede atribuir al Lema IV de Euclides ). Porisms in Volume VII of Pappus of Alexandria 's Mathematical Collection ).

Colineaciones y correlaciones

Una colineación es una transformación que lleva puntos a puntos, líneas a líneas y conserva la razón de incidencia de puntos y líneas, así como la razón doble de cuatro puntos colineales cualesquiera. Las colineaciones forman un grupo. El requisito de preservar la razón doble del cuádruple de puntos colineales es redundante, pero es difícil de probar. Las colineaciones se consideran junto con las correlaciones, transformaciones del plano proyectivo que transforman puntos en líneas y líneas en puntos y conservan la relación de incidencia. Un ejemplo de correlación es una correspondencia polar, es decir, un mapeo que lleva un punto a su polar con respecto a una sección cónica , y una recta a su polo.

Homología

Una homología es una colineación no idéntica para la cual existe una línea p fija puntual , llamada eje de homología.

Para toda homología existe un punto fijo P (centro de homología) con la propiedad de que toda recta incidente en él es fija. Aparte del centro P y los puntos del eje p , la homología de puntos fijos no tiene puntos fijos. Si , entonces la homología se llama parabólica, de lo contrario se llama hiperbólica. ${\ estilo de visualización P \ en p}$

Bajo homología plana, el punto y su imagen se encuentran en la misma línea recta con el centro de homología, y la línea y su imagen se cortan en el eje de homología.

La homología puede estar dada por un centro, un eje y un par de líneas correspondientes. La homología también se puede especificar por el centro, el eje, etc. una constante de homología diferente de . $0,1,\infty$

Véase también

Literatura

D. A. Tumba . Homografía // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
P. S. Alexandrov . Curso de Geometría Analítica y Álgebra Lineal. — M .: Nauka, 1979.
R. Hartshorne. Fundamentos de geometría proyectiva. — M .: Mir, 1970.
H. S. M. Coxeter. Plano proyectivo real / ed. profe. A. A. Glagoleva. - M. , 1959.
R. Courant, G. Robbins. ¿Qué son las matemáticas?
N. V. Efimov . Geometría superior . - FizMatLit, 2003.
S. L. Pevzner . geometría proyectiva. Libro de texto sobre el curso "Geometría" para estudiantes-estudiantes a tiempo parcial II-III cursos de facultades físicas y matemáticas. - M. : Educación, 1980.