Función modular

Una función modular es una función meromórfica definida en el semiplano complejo superior (es decir, en el conjunto ), que es invariante bajo transformaciones del grupo modular o de alguno de sus subgrupos y satisface las condiciones de holomorfía en los puntos parabólicos. Las funciones modulares y las formas modulares que las generalizan son ampliamente utilizadas en teoría de números , así como en topología algebraica y teoría de cuerdas . ${\mathbb {H}}=\{x+iy\mid y>0;x,y\in {\mathbb {R}}\}$

Formalmente, una función modular es una función meromórfica que satisface la condición:

f\izquierda({\frac {az+b}{cz+d}}\derecha)=f(z)

para cada matriz:

\left({\begin{matriz}{cc}a&b\\c&d\end{matriz}}\right)

perteneciente al grupo modular . $PSL(2,\mathbb{Z} )$

Forma modular

Una forma de peso modular para un grupo es una función holomorfa que satisface la condición: $k$ $\gamma _{{0}}(N)$ $f\dos puntos H\flecha derecha C$

f(g\tau)=(c\tau +d)^{{k}}f(\tau)

para cualquiera y

g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{{0}}(N)

\tau \in H

y holomorfo en todos los puntos parabólicos [1] [2] .

Sea el semiplano complejo superior: . El grupo de matrices para un número natural se define como: $H$ $H=\izquierda\{z\in C\mid {\mahop {{\mathrm {Im))))(z)>0\derecha\}$ $\gamma _{{0}}(N)$ $norte$

\Gamma _{{0}}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in SL_{{2}}\;{\Big \vert }\; c\equiv 0{\pmod N}\right\}

El grupo actúa con la ayuda de transformaciones lineales-fraccionales donde y . [3] $\gamma _{{0}}(N)$ $H$ $g\tau ={\frac {a\tau +b}{c\tau +d)),$ $g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{{0}}(N)$ $\tau \in H$

Propiedades de las formas modulares

Las formas modulares de peso impar son iguales a cero. La forma modular del peso es (at ) la serie Eisenstein : $2k$ $k>1$

G_{{2k))(\tau )=\sum_{{(m,n)\in {\mathbb {Z))^{2}\barra invertida (0,0))){\frac {1}{ (m+n\tau)^{{2k}}}}

donde _ $z\in {\matemáticas {H}}$

Dejar

g_{2}=60\sum_{{(m,n)\neq (0,0)}}(m+n\tau)^{{-4}},\qquad g_{3}=140\sum _{{(m,n)\neq (0,0)}}(m+n\tau)^{{-6}}

— invariantes modulares, — discriminante modular. Al definir el invariante modular básico ( j-invariante ) de la siguiente manera: $\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}$

j(\tau)=1728{g_{2}^{3} \sobre \Delta}

se cumplen las igualdades:

g_{2}(\tau +1)=g_{2}(\tau ),\;g_{2}(-\tau ^{{-1}})=\tau ^{4}g_{2}( \tau)

\Delta (\tau +1)=\Delta (\tau ),\;\Delta (-\tau ^{{-1}})=\tau ^{{12}}\Delta (\tau )

Además, estas funciones satisfacen las propiedades correspondientes de la holomorfía. Es decir - una forma modular de pesa 4, - una forma modular de pesa 12. En consecuencia - una forma modular de pesa 12, y - una función modular. Estas funciones tienen aplicaciones importantes en la teoría de funciones elípticas y curvas elípticas . $g_{2}$ $\Delta$ $g_{2}^{3}$ $j(z)$

Notas

↑ Sarnak, 1998 , pág. 7.
↑ Prasolov, 1997 , pág. 194.
↑ Prasolov, 1997 , pág. 187.

Literatura

Sarnak P. Formas modulares y sus aplicaciones. - M .: FAZIS, 1998. - ISBN 5-70364029-4 .
Tom M. Apóstol. Funciones Modulares y Series de Dirichlet en Teoría de Números. - Nueva York: Springer-Verlag, 1990. - ISBN 0-387-97127-0 .
Roberto A. Rankin. Formas modulares y funciones. - Cambridge: Cambridge University Press, 1977. - ISBN 0-521-21212-X .
V. V. Prasolov, Yu.P. Soloviov. Funciones elípticas y ecuaciones algebraicas. - Factorial, 1997. - 288 p. — ISBN 5-88688-018-6 .

Enlaces

JS Milne, Funciones modulares y formas modulares , curso de conferencias.