Función holomorfa

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Una función holomorfa o una función analítica compleja de un solo valor (del griego ὅλος - "todo, todo" y μορφή - "forma"), a veces llamada función regular - una función de una variable compleja , definida en un subconjunto abierto de la plano complejo y complejo diferenciable en cada punto. $\matemáticas {C}$

A diferencia del caso real, esta condición significa que la función es infinitamente derivable y se puede representar mediante una serie de Taylor convergente a ella .

Las funciones holomorfas también se denominan a veces analíticas , aunque el segundo concepto es mucho más amplio, ya que una función analítica puede tener varios valores y también puede considerarse para números reales .

Definición

Sea un subconjunto abierto de y sea una función de valores complejos en . Se dice que una función es holomorfa en el conjunto si se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes: $tu$ $\matemáticas {C}$ $f:U\to {\mathbb {C}}$ $tu$ $tu$

La función tiene una derivada compleja en cada punto del conjunto , es decir, el límite $tu$ $f'(z)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h)).$
La función es derivable compleja en todo punto , es decir, existe un número tal que en una vecindad del punto ${\ estilo de visualización z \ en U}$ $L\en \mathbb {C}$ $z$ ${\ estilo de visualización f (z + h) = f (z) + Lh + o (h)}$
La función es real-diferenciable y las condiciones de Cauchy-Riemann y se cumplen en cada punto Aquí y son las partes real e imaginaria de la función bajo consideración. ${\ estilo de visualización z = x + iy \ en U}$ ${\frac {\parcial u}{\parcial x))={\frac {\parcial v}{\parcial y))$ ${\frac {\u parcial}{\y parcial}}=-{\frac {\v parcial}{\x parcial}}.$ $tu(z)$ $v(z)$
La función es diferenciable real y en cada punto , donde . ${\ estilo de visualización z \ en U}$ ${\frac {\parcial f}{\parcial {\bar {z))))=0$ ${\frac {\parcial }{\parcial {\bar z))}={1 \over 2}\left({\frac {\parcial }{\parcial x))+i{\frac {\parcial }{ \parcial y}}\derecha),$
La serie de Taylor de la función en cada punto tiene un radio de convergencia distinto de cero, y su suma es igual en alguna vecindad a . ${\ estilo de visualización z \ en U}$ $f(z)$ $z$
La función es continua e integral para cualquier curva cerrada . $\int \limites _{\Gamma}\,f(z)\,dz=0$ ${\ estilo de visualización \ gamma \ subconjunto U}$

El hecho de que todas estas definiciones sean equivalentes es un resultado no trivial y bastante notable de un análisis complejo.

Se dice que una función es holomorfa en un punto si es holomorfa en alguna vecindad . $F$ $z_{0}\en U$ $z_{0}$

Una función se llama holomorfa si es diferenciable compleja en su dominio. $F$

Definiciones relacionadas

Una función completa es una función que es holomorfa en todo el plano complejo.
Una función meromórfica es una función que es holomorfa en un dominio y tiene un polo en todos sus puntos singulares. $\Omega \setminus \{{z_{i)),\;i\in I\subconjunto {\mathbb {N}}\}$ $z_{yo}$
Se dice que una función es holomorfa en un conjunto compacto si existe un conjunto abierto que contiene tal que es holomorfa en . $F$ $k$ $D$ $k$ $F$ $D$

Propiedades

Una función compleja es holomorfa si y solo si se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann $u+iv=f(x+iy)$ ${\frac {\u parcial}{\x parcial))={\frac {\v parcial}{\y parcial));\quad {\frac {\u parcial}{\y parcial))=-{\ frac {\v parcial}{\x parcial})$

y las derivadas parciales son continuas.

{\frac {\parcial u}{\parcial x)),\;{\frac {\parcial u}{\parcial y)),\;{\frac {\parcial v}{\parcial x)),\ ;{\frac {\v parcial}{\y parcial))

La suma y el producto de funciones holomorfas es una función holomorfa, que se sigue de la linealidad de la diferenciación y del cumplimiento de la regla de Leibniz. El cociente de funciones holomorfas también es holomorfa en todos los puntos donde el denominador no desaparece.
La derivada de una función holomorfa es nuevamente holomorfa, por lo que las funciones holomorfas son infinitamente diferenciables en su dominio de definición.
Las funciones holomorfas se pueden representar como convergentes en alguna vecindad de cada punto de la serie de Taylor .
De cualquier función holomorfa se pueden distinguir sus partes real e imaginaria, cada una de las cuales será una solución a la ecuación de Laplace en . Es decir, si es una función holomorfa, entonces y son funciones armónicas . $\matemáticas {R} ^{2}$ $f(x+iy)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)$ $tu$ $v$
Si el valor absoluto de una función holomorfa alcanza un máximo local en un punto interior de su dominio, entonces la función es constante (se supone que el dominio es conexo). De ahí se sigue que el máximo (y el mínimo, si no es igual a cero) del valor absoluto de la función holomorfa sólo se puede alcanzar en la frontera del dominio.
En una región donde la primera derivada de una función holomorfa no se anula y la función es univalente , realiza un mapeo conforme .
La fórmula integral de Cauchy relaciona el valor de una función en un punto interior de una región con sus valores en el límite de esta región.
Desde un punto de vista algebraico, el conjunto de funciones holomorfas en un conjunto abierto es un anillo conmutativo y un espacio lineal complejo . Es un espacio vectorial topológico localmente convexo con seminorma igual al supremo en subconjuntos compactos.
Según el teorema de Weierstrass , si una serie de funciones holomorfas en un dominio converge uniformemente en cualquier conjunto compacto entonces su suma también es holomorfa, y su derivada es el límite de las derivadas de sumas parciales de la serie [1] . $D$ $D,$
Si en el dominio no desaparece, entonces será holomorfo en . $f'(z)$ $GRAMO$ $f^{{-1}}(z)$ $GRAMO$

Algunas propiedades de las funciones holomorfas están cerca de las propiedades de los polinomios , lo que, sin embargo, no es sorprendente: la descomposición de las funciones holomorfas en la serie de Taylor indica que las funciones son, de alguna manera, variantes limitantes de los polinomios. Supongamos, de acuerdo con el teorema fundamental del álgebra , que cualquier polinomio puede tener ceros no más que su grado. Para las funciones holomóficas, se cumple una afirmación similar, que se sigue del teorema de unicidad en una forma alternativa:

Si el conjunto de ceros de una función holomorfa en un dominio simplemente conexo tiene un punto límite en este dominio , entonces la función es idénticamente igual a cero.
Para una función de varias variables reales, la diferenciabilidad con respecto a cada una de las variables no es suficiente para que la función sea derivable. Para una función de varias variables complejas, ser holomorfa en cada una de las variables es suficiente para que la función sea holomorfa ( teorema de Hartogs ).

Ejemplos

Todos los polinomios en z son funciones holomorfas en todo el plano . $\matemáticas {C}$

Además, holomorfas, aunque no en todo el plano complejo, son funciones racionales , funciones exponenciales , logaritmos , funciones trigonométricas , funciones trigonométricas inversas y muchas otras clases de funciones, así como sumas, diferencias, productos, funciones holomorfas parciales.

Ejemplos de funciones no holomorfas en include $\matemáticas {C}$

$f(z)=|z|$ ,
$f(z)=\sobrelínea {z}$ ,

ya que no tienen derivada compleja en ningún punto. En este caso, la restricción al eje real será una función analítica de la variable real (ya que coincide completamente con la restricción de la función ). $f(z)=\sobrelínea {z}$ ${\ estilo de visualización f (z) = z}$

Historia

El término "función holomorfa" fue introducido por dos estudiantes de Cauchy , Brio ( 1817 - 1882 ) y Bouquet ( 1819 - 1895 ), y proviene de las palabras griegas őλoς ( holos ), que significa "todo", y μorφń (morfe ) . - forma, imagen. [2]

Hoy en día, muchos matemáticos prefieren el término "función holomorfa" en lugar de "función analítica", ya que este último concepto se utiliza para un caso más general. Además, uno de los resultados importantes del análisis complejo es que cualquier función holomorfa es analítica , lo cual no es obvio a partir de la definición. El término "analítico" se suele utilizar para el caso más general, cuando las funciones no se dan necesariamente en el plano complejo.

Variaciones y generalizaciones

Caso multidimensional

También hay una definición de la holomorfia de funciones de varias variables complejas.

f\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} .

Para la definición se utilizan los conceptos de -diferenciabilidad y -linealidad de tales funciones ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$

C-linealidad

Una función se llama -lineal si se cumplen las siguientes condiciones: $F$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$

${\displaystyle f(z'+z'')=f(z')+f(z''),\quad z',\;z''\in \mathbb {C} ^{n))$ .
$f(\lambda z)=\lambda f(z),\quad z\in \mathbb {C} ^{n},\quad \lambda \in \mathbb {C}$

(para funciones lineales ). $\matemáticas {R}$ $\lambda \in \mathbb{R}$

Para cualquier función lineal , hay secuencias tales que . $\matemáticas {R}$ $F$ $\{a_{n}\},\;\{b_{n}\}\subconjunto \mathbb {C}$ $f=\sum_{{i=1}}^{{n}}(a_{i}z_{i}+b_{i}{\bar z}_{i})$
Para cualquier función lineal , existe una sucesión tal que . ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$ $F$ $\{a_{n}\}\subconjunto \mathbb {C}$ $f=\sum_{{i=1}}^{{n}}a_{i}z_{i}$

C-diferenciabilidad

Una función se llama -diferenciable en un punto si existen funciones y tales que en una vecindad del punto $F$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$ $z\in \mathbb {C} ^{n}$ $yo$ $o$ $z$

f(z+h)=f(z)+l(h)+o(h),\quad \lim _{{h\to 0}}{\frac {o(h)}{h}}=0 ,

donde es la función -lineal (para -diferenciabilidad - -lineal). $yo$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {R}$

Holomorfismo

Se dice que una función es holomorfa en un dominio si es diferenciable en una vecindad de cada punto en ese dominio. $F$ $D,$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$

Cuasianalítica

Notas

↑ A. V. Domrin, A. G. Sergeev. Conferencias sobre análisis complejo. Primer medio año. - M .: MIAN, 2004. - S. 79. - ISBN 5-98419-007-9 .
↑ Markushevich AI, Silverman, Richard A. (ed.) Teoría de funciones de una variable compleja. - M .: Sociedad Matemática Americana , 2ª ed. - ISBN 0-8218-3780-X , [1] Archivado el 13 de noviembre de 2012 en Wayback Machine .

Literatura

Función holomorfa // Diccionario Enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
Shabat BV Introducción al análisis complejo. — M .: Nauka , 1969 . — 577 pág.
Titchmarsh E. Teoría de funciones: Per. De inglés. - 2ª ed., revisada. — M .: Nauka , 1980 . — 464 pág.
Privalov II Introducción a la teoría de funciones de variable compleja: un manual para la educación superior. - M. - L .: Editorial Estatal, 1927 . — 316 pág.
Evgrafov M. A. Funciones analíticas. - 2ª ed., revisada. y adicional — M .: Nauka , 1968 . — 472 pág.
Blakey, Joseph. Matemática Universitaria (neopr.) . — 2do. — Londres: Blackie and Sons, 1958.

Enlaces

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), función analítica , Enciclopedia de Matemáticas , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

diccionarios y enciclopedias

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Gran soviet (1 ed.)

En catálogos bibliográficos
BNF : 119819963 TIERRA : 4025645-5 J9U : 987007562960505171 LCCN : sh85061536 NDL : 00570426 NKC : ph321880