Grupo modular

El grupo modular es el conjunto de todas las transformaciones de Möbius de la forma $\Gama$

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d)),

donde son enteros , y . $a B C D$ $anuncio-bc=1$

El grupo modular se identifica con el grupo factorial . Aquí está el grupo de matrices. ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )=SL(2,\;\mathbb {Z} )/\{I,\;-I\))$ $SL(2,\;\mathbb {Z} )$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix)),

donde son enteros , . $a B C D$ $anuncio-bc=1$

El grupo modular es un grupo discreto de transformaciones del semiplano complejo superior ( plano de Lobachevsky ) y admite una representación por generadores ${\displaystyle H=\{z:\mathrm {Im} \,z>0\))$

S:z\mapsto -1/z,

T:z\mapas a z+1

y relaciones , es decir, es un producto libre de un grupo cíclico de orden 2 generado por , y un grupo cíclico de orden 3 generado por . ${\ estilo de visualización S ^ {2} = (ST) ^ {3} = 1}$ $S$ $S T$

Para una transformación arbitraria de un grupo modular, se cumple la siguiente igualdad: $g(z)={\frac {az+b}{cz+d))$

\mathrm {Im} \,g(z)={\frac {\mathrm {Im} \,z}{|cz+d|^{2}}}.\qquad \qquad (1)

Dado que la parte imaginaria es distinta de cero, y los números y son enteros distintos de cero al mismo tiempo, el valor se separa de cero (no puede ser arbitrariamente pequeño). Esto quiere decir que en la órbita de cualquier punto hay uno en el que la parte imaginaria alcanza su máximo. $z$ $C$ $d$ $|cz+d|^{2}$

El dominio fundamental (canónico) de un grupo modular es el dominio cerrado

D=\{z\in H:|z|\geqslant 1,\;|\mathrm {Re} \,z|\leqslant 1/2\}.

Es fácil verificar usando (1) que las transformaciones del grupo modular no aumentan la parte imaginaria de los puntos de . De aquí se sigue que para que dos puntos pertenezcan a , su parte imaginaria debe ser la misma: . Las siguientes transformaciones y puntos cumplen estas condiciones: $D$ ${\ estilo de visualización z, \; g (z)}$ $D$ ${\ estilo de visualización | cz + d | ^ {2} = 1}$

${\ estilo de visualización g (z) = z, \; z}$ - Cualquier punto;
$g(z)=z-1,\;\mathrm {Re} \,z=1/2;$
$g(z)=z+1,\;\mathrm {Re} \,z=-1/2;$
$g(z)=-1/z,\;|z|=1.$

En particular, todos los puntos de la región tienen un estabilizador trivial excepto tres: $D$

$\mathrm {St} (i)=\{1,\;S\};$
$\mathrm {St} (e^{2\pi i/3})=\{1,\;ST,\;(ST)^{2}\};$
$\mathrm {St} (-e^{-2\pi i/3})=\{1,\;TS,\;(TS)^{2}\}.$

Además, de esto se deduce que cuando el semiplano superior es factorizado por la acción del grupo modular, los puntos interiores se visualizan inyectivamente, mientras que los de contorno se pegan a los puntos “espejados” respecto a la línea. . $D$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {Re} \, z = 0}$

Para mostrar que cualquier punto desde es congruente con algún punto desde , consideramos en su órbita generada por las transformaciones y , el punto con la máxima parte imaginaria y, usando un corrimiento entero, lo desplazamos para que la parte real de su imagen se vuelva no más de 1/2 en valor absoluto. Entonces la imagen pertenece (de lo contrario, si su módulo fuera menor que 1, sería posible aumentar estrictamente la parte imaginaria con la ayuda de una transformación). $H$ $D$ $S$ $T$ $D$ $S$

También es fácil mostrar que las transformaciones y generan todo el grupo modular. Sea una transformación modular arbitraria y sea un punto interior de . Como se describió anteriormente, busquemos una transformación que se traduzca en el área . Los puntos y se encuentran en , y es interno, por lo tanto, . Entonces la transformación radica en el punto estabilizador , que es trivial. Por lo tanto, se encuentra en el grupo generado por las transformaciones y . $S$ $T$ $gramo$ $z$ $D$ $gramo'$ $g(z)$ $D$ $z$ $g'g(z)$ $D$ $z$ $g'g(z)=z$ $g'g$ $z$ ${\ estilo de visualización g = (g')^{-1))$ $S$ $T$

El interés por el grupo modular está asociado al estudio de las funciones modulares , cuya superficie de Riemann es el espacio cociente , identificado con el dominio fundamental del grupo modular. El dominio fundamental tiene un área finita (en el sentido de la geometría de Lobachevsky), es decir, el grupo modular es un grupo fucsiano de primera especie. $H/\,\Gamma$ $GRAMO$ $GRAMO$