Funtor monoide

En la teoría de categorías, los funtores monoidales son funtores entre categorías monoidales que conservan la estructura monoide, es decir, la multiplicación y el elemento identidad.

Definición

Sean y sean categorías monoidales. Un funtor monoide de a consta de un funtor , una transformación natural $({\mathcal {C)),\otimes,I_{\mathcal {C)))$ $({\mathcal {D)),\bullet,I_{\mathcal {D)))$ ${\ matemática C}$ ${\ matemática D}$ $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$

\phi _{A,B}:FA\bullet FB\to F(A\otimes B)

y morfismo

\phi :I_{\mathcal {D}}\to FI_{\mathcal {C}}

llamados morfismos estructurales tales que para cualquier , , en diagramas $A$ $B$ $C$ ${\ matemática C}$

son conmutativos en la categoría . Aquí usamos la notación estándar para la estructura monoide de las categorías y . ${\ matemática D}$ ${\ estilo de visualización \ alfa, \ rho, \ lambda}$ ${\ matemática C}$ ${\ matemática D}$

Un funtor fuertemente monoide es un funtor monoide tal que los morfismos de estructura son invertibles. ${\ estilo de visualización \ phi _ {A, B}, \ phi}$

Un funtor estrictamente monoide es un funtor monoide cuyos morfismos estructurales son idénticos.

Ejemplo

Un functor olvidadizo de la categoría de grupos abelianos a la categoría de conjuntos. Aquí el morfismo estructural es la sobreyección inducida por el mapeo estándar ; el mapeo traduce el singleton * a 1. $U:(\mathbf {Ab} ,\otimes _{\mathbf {Z} },\mathbf {Z} )\rightarrow (\mathbf {Set} ,\times ,\{*\})$ $\phi _{A,B}\dos puntos U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B)$ $A\times B\to A\otimes B\to$ $\phi \colon \{*\}\to \mathbb {Z}$

Notas

Kelly, G. Max (1974), "Anexo doctrinal", Lecture Notes in Mathematics , 420 , 257-280