No predicatividad (matemáticas)

La no predicatividad de una definición en matemáticas y lógica , en términos generales, significa que el significado de una definición implica la presencia de un objeto definido [1] . Ejemplo: un objeto se define como un elemento de algún conjunto que satisface una determinada relación entre él y todos los elementos de este conjunto (incluido él mismo ) [2] . En algunos casos, una definición no predicativa puede dar lugar a malentendidos o incluso a contradicciones. El concepto opuesto en significado es predicatividad .

Para definiciones en lenguaje formal, la Enciclopedia de Matemáticas da una versión más rigurosa:

Una propiedad (más precisamente, una expresión de lenguaje que expresa esta propiedad) se denomina no predicativa si contiene una variable ligada, en cuyo ámbito cae el objeto que se define. Se dice que una propiedad es predicativa si no contiene tales variables asociadas.

No existe una definición clara generalmente aceptada de no predicatividad, varias fuentes dan definiciones similares pero diferentes. Por ejemplo, ocurre lo siguiente: la definición de un objeto X no es predicativa si se refiere a X mismo o (la mayoría de las veces) al conjunto que contiene X; al mismo tiempo, parece estar completo, aunque esta definición puede afectar a su composición [3] [4] .

Ejemplos

El ejemplo más famoso de una construcción no predicativa es la paradoja de Russell , en la que se define el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. La paradoja radica en el hecho de que el conjunto así definido es internamente inconsistente: se contiene a sí mismo y no se contiene a la vez. Una clara versión histórica de esta paradoja es la " paradoja del barbero ": la definición "un aldeano que afeita a esos aldeanos que no se afeitan a sí mismos" no es predicativa, ya que define a un aldeano utilizando su relación con todos los aldeanos (y, por lo tanto, , y con él) [2] . La no predicatividad también se encuentra en otras paradojas de la teoría de conjuntos [3] .

La paradoja de la omnipotencia se refiere a menudo como formulaciones no predicativas : "¿Puede Dios crear una piedra que él mismo no puede levantar?" Aquí se utiliza el concepto de "omnipotencia", cuya definición es internamente contradictoria [5] . De igual forma, se dispone la “ paradoja del mentiroso ” , en la que el enunciado se niega a sí mismo.

En matemáticas, sin embargo, hay un número considerable de definiciones no predicativas de uso común que no crean problemas y no tienen una versión predicativa simple. En el análisis clásico, por ejemplo, esta es la definición del mínimo mínimo de un conjunto de números [6] :

El mínimo exacto (mayor) de un subconjunto de un conjunto ordenado es el elemento mayor que no excede a todos los elementos del conjunto

Otro ejemplo de una definición no predicativa generalmente aceptada y bastante segura en el análisis es la determinación del valor máximo de una función en un intervalo dado, ya que el valor que se define depende de todos los demás, incluido él mismo [7] .

Las construcciones no predicativas utilizan la prueba del famoso teorema de incompletitud de Gödel : la "fórmula indecidible" construida como resultado afirma la imposibilidad de demostrarse [8] .

Finalmente, en lógica e informática, existen definiciones recursivas y algoritmos recursivos , en los que inicialmente se prevé la no predicatividad y es parte integral de ellos.

Historia

Los términos "predicativo" y "no predicativo" fueron introducidos en un artículo por Russell (1907) [9] , aunque el significado del término entonces era algo diferente. Henri Poincaré (1905-1906, 1908) denunció las definiciones no predicativas como un círculo vicioso peligroso , las consideró la principal fuente de paradojas en la teoría de conjuntos. Russell apoyó esta evaluación y, en su monografía Principia Mathematica , tomó medidas para evitar la no predicatividad ( teoría de tipos y el "axioma de reducibilidad") [10] [11] . Hermann Weyl , en su libro "Das Kontinuum", expuso una posición filosófica que a menudo se denomina "predicativismo" [12] .

Ernst Zermelo en 1908 se opuso a un enfoque demasiado radical y dio dos ejemplos de definiciones no predicativas bastante inofensivas que se usan a menudo en el análisis. Hermann Weyl trató de encontrar un análogo predictivo del límite superior mínimo, pero no tuvo éxito. Desde entonces, nadie ha podido construir un análisis completo sobre una base estrictamente predicativa [1] [3] .

Notas

  1. ↑ 1 2 Enciclopedia Matemática, 1982 , p. 981.
  2. ↑ 1 2 Definición no predicativa Copia de archivo fechada el 3 de febrero de 2018 en Wayback Machine // Great Russian Encyclopedia.
  3. ↑ 1 2 3 Kleene S. K. Introducción a las metamatemáticas. - M. : Editorial de Literatura Extranjera, 1957. - S. 44-46. — 526 pág.
  4. ↑ Diccionario enciclopédico filosófico, 1983 , p. 433.
  5. ↑ Kline M., 1984 , pág. 241.
  6. ↑ Kline M., 1984 , pág. 241-242.
  7. ↑ Kline M., 1984 , pág. 242.
  8. ↑ Teorema de incompletitud de Uspensky V. A. Gödel. — M .: Nauka, 1982. — 110 p. - ( Clases populares de matemáticas ).
  9. ↑ Russell, B. (1907), Sobre algunas dificultades en la teoría de números transfinitos y tipos de orden. proc. Matemáticas de Londres. Soc., s2-4 (1): 29-53, doi:10.1112/plms/s2-4.1.29.
  10. ↑ Feferman, Salomón . Predicatividad Archivado el 11 de junio de 2016 en Wayback Machine (2002)
  11. ↑ Comentario de Willard V. Quine antes de Lógica matemática de 1908 de Bertrand Russell basada en la teoría de tipos
  12. ↑ Horsten, León. Filosofía de las Matemáticas  (Inglés) . - Enciclopedia de Filosofía de Stanford. Consultado el 15 de noviembre de 2017. Archivado desde el original el 11 de marzo de 2018.

Literatura