Desigualdad de Minkowski

La desigualdad de Minkowski es la desigualdad triangular para espacios de funciones con potencia th integrable . $pags$

Redacción

Sea un espacio con medida , y funciones , es decir , donde , y la integral se entienda en el sentido de Lebesgue . Entonces , y además: $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f,g\in L^{{p))(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $\int \limits _{X}|f|^{p}\,d\mu <\infty ,\;\int \limits _{X}|g|^{p}\,d\mu <\infty$ $p\geq 1$ $f+g\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$

\left(\int \limits _{X}|f(x)+g(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}\leq \left( \int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}+\left(\int \limits _{X}|g(x )|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}.

Prueba

Primero, demostramos que es sumable en . Vamos a introducir conjuntos: . Pasemos a la demostración de la desigualdad de Minkowski: podemos aplicarles la desigualdad de Hölder : Así: Dividir las partes izquierda y derecha por . La desigualdad ha sido probada. Nota: En el caso de que la desigualdad sea obvia, ya que hay números no negativos a la derecha.

$f,g\en L^{{p}}(E)\Flecha derecha |f+g|^{{p}}$ $mi$

$E_{1}=E[|f|\geq |g|]\quad E_{2}=E[|f|<|g|]$

$\int \limits _{E_{1}}|f+g|^{p}d\mu \leq \int \limits _{E_{1}}(|f|+|g|)^{ p}d\mu \leq 2^{p}\int \limits _{E_{1}}|f|^{p}d\mu .$
$\int \limits _{E_{2}}|f+g|^{p}d\mu \leq \int \limits _{E_{2}}(|f|+|g|)^{ p}d\mu \leq 2^{p}\int \limits _{E_{2}}|g|^{p}d\mu .$

$\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu =\int \limits _{E_{1}}|f+g|^{p}d\mu +\int \limits _{E_{2}}|f+g|^{p}d\mu \leq 2^{p}\int \limits _{E_{1}}|f|^{p}d\mu + 2^{p}\int \limits _{E_{2}}|g|^{p}d\mu <\infty .$

$\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu =\int \limits _{E}|f+g||f+g|^{p-1}d\ mu \leq \int \limits _{E}|f||f+g|^{p-1}d\mu +\int \limits _{E}|g||f+g|^{p-1 }d\mu ;$

$|f|\en L^{{p}},|f+g|^{{p-1}}=|f+g|^{{p/q}}\en L^{{q}}\ flecha correcta$

$\int \limits _{E}|f||f+g|^{p-1}d\mu \leq (\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu ) ^{1/p}(\int \limits _{E}|f+g|^{(p-1)q}d\mu )^{1/q}=(\int \limits _{E}| f|^{p}d\mu )^{1/p}(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu )^{1-1/p},$
$\int \limits _{E}|g||f+g|^{p-1}d\mu \leq (\int \limits _{E}|g|^{p}d\mu ) ^{1/p}(\int \limits _{E}|f+g|^{(p-1)q}d\mu )^{1/q}=(\int \limits _{E}| g|^{p}d\mu )^{1/p}(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu )^{1-1/p}.$

$\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \leq (\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu )^{1/p }(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu )^{1-1/p}+(\int \limits _{E}|g|^{p}d\ mu )^{1/p}(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu )^{1-1/p}.$

$(\int \limites _{E}|f+g|^{{p}}d\mu )^{{1-1/p}}$

$(\int \limites _{E}|f+g|^{{p}}d\mu )^{{1-1/p}}=0$

Nota

La desigualdad de Minkowski muestra que en un espacio lineal se puede introducir una norma : $L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$

\|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{ 1/p},

lo que lo convierte en un espacio normado y por lo tanto métrico .

Casos especiales

Espacio euclidiano

Considere el espacio euclidiano o . -norma en este espacio tiene la forma: $E={\mathbb{R}}^{n}$ $\mathbb{C}^n$ $L^{p}$

\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}, \;x=(x_{1},\ldots,x_{n})^{\top },

y entonces

\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}+y_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\ suma \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \limits _{i=1}^{n} |y_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;\para todo x,y\en E.

Si y , entonces obtenemos la desigualdad clásica del triángulo a partir de la planimetría y la estereometría . $n=2,3$ $pag=2$

Espacio l p

Sea una medida contable en . Entonces el conjunto de todas las sucesiones tales que $X={\mathbb {N)),\,{\mathcal {F}}=2^{({\mathbb {N)))),\,m$ $\matemáticas {N}$ $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$

\|x\|_{p}=(\sum _{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p})^{1/p}<\infty,

llamado _ La desigualdad de Minkowski para este espacio tiene la forma: $l^{p}$

\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty}|x_{n}+y_{n}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left( \sum \limits _{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \limits _{n=1}^{ \infty }|y_{n}|^{p}\right)^{1/p},\;\forall x,y\in l^{p}.

Espacio de probabilidad

Sea un espacio de probabilidad . Luego consta de variables aleatorias con un momento final : , donde el símbolo denota la esperanza matemática . La desigualdad de Minkowski en este caso tiene la forma: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $L^{p}(\Omega,{\mathcal {F)),{\mathbb {P)))$ $pags$ ${\mathbb {E}}\left[|X|^{p}\right]<\infty$ ${\ matemáticas {E}}$

\left(\mathbb {E} |X+Y|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^ {1/p}+\left(\mathbb {E} |Y|^{p}\right)^{1/p}.

Literatura

Vulikh B.Z. Un curso corto en la teoría de una función de una variable real. - 2ª ed., revisada y complementada. — M .: Nauka , 1973. — 352 p.