Desigualdad de Jackson-Stechkin

La desigualdad de Jackson-Stechkin conecta el valor de la mejor aproximación de una función por alguna clase de funciones con las propiedades de esta función, generalmente con el valor del módulo de continuidad de esta función en un punto determinado. Ejemplo:

E_{n}(f)_{L^{2}}<K\omega_{f}(\delta ).

En el ejemplo, el valor de la mejor aproximación de una función por polinomios de grado en el espacio se estima desde arriba a través del valor del módulo de continuidad de la función en el punto . La cantidad se llama la constante de Jackson . La cuestión del valor más pequeño de esta cantidad (sobre la "constante de Jackson exacta") es, por regla general, muy difícil. En los casos en que es solucionable, la constante mínima para la cual la desigualdad sigue siendo válida se denomina punto de Chernyh , que tampoco es trivial de encontrar. $F$ $norte$ $L^{2}$ $F$ $\delta$ $k$ $\delta$

Historia

Por primera vez una desigualdad de este tipo fue obtenida por D. Jackson ( inglés Dunham Jackson ) en 1911 para el caso de aproximación de funciones periódicas por polinomios trigonométricos . El demostró que

E_{n}(f)\leqslant c\omega \left(f,\;{\frac {1}{n))\right)

E_{n}(f)\leqslant {\frac {c_{r}}{n^{r}}}\omega \left(f^{(r)},\;{\frac {1} {n}}\derecha).

Aquí está el valor de la mejor aproximación de la función en la métrica uniforme por polinomios trigonométricos de grado . En la primera desigualdad, se supone que la función es continua y en la segunda diferenciable. ${\ Displaystyle E_ {n} (f)}$ $F$ $n-1$ $F$ $r$

En 1945, Sigmund obtuvo desigualdades similares usando el módulo de continuidad de segundo orden, en 1947 el académico S. N. Bernshtein pudo usar el módulo de continuidad de orden . En 1949, S. B. Stechkin generalizó todos los resultados anteriores y estableció (mediante un método diferente al de Jackson) que $k$

E_{n}(f)\leqslant c_{k}\omega _{k}\left(f,\;{\frac {1}{n))\right)

E_{n}(f)\leqslant {\frac {c_{k+r}}{n^{r}}}\omega_{k}\left(f^{(r)},\; {\frac{1}{n}}\derecha).

Aquí las constantes no dependen de , o . Como resultado, en la literatura nacional, la desigualdad comenzó a llamarse desigualdad de Jackson-Stechkin , y desigualdades similares comenzaron a llamarse desigualdades de tipo Jackson-Stechkin . $c_{k}$ $F$ $norte$ $r$

En 1961, N.P. Korneichuk señaló la constante de Jackson exacta en la primera desigualdad:

E_{n}(f)<1\cdot \omega \left(f,\;{\frac {\pi }{n))\right).

En 1967, Stechkin obtuvo la desigualdad de Jackson en espacios para todos : $L_{p}$ $p\in [1,\;\infty )$

E_{n}(f)_{p}<{\frac {3}{2}}\cdot \omega \left(f,\;{\frac {\pi }{n}}\right) _{pags}.

Posteriormente, una gran cantidad de matemáticos en diferentes países se dedicaron a este tema (y aún se dedican a él), se obtuvieron desigualdades similares para varios espacios , aproximando clases y módulos de continuidad .