Desigualdad del triángulo rojo

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 20 de mayo de 2019; las comprobaciones requieren 3 ediciones .

La desigualdad del triángulo de Rouge conecta todos los conjuntos de diferencias de tres conjuntos por pares en un grupo arbitrario .

Redacción

Sea un grupo y .

Entonces , donde .

Desigualdad triangular con suma

Hay una desigualdad más [1] similar a la desigualdad del triángulo de Rouge, que, sin embargo, es más difícil de probar que la clásica: usando la desigualdad de Plünnecke-Rouge , que a su vez se prueba usando la desigualdad clásica de Rouge.

Prueba

Considere una función definida como . Entonces para cada imagen hay al menos diferentes imágenes inversas de la forma . Esto significa que el número total de preimágenes no es inferior a . Medio,

Una analogía con la desigualdad triangular

Considere una función [2] [3] que define la "distancia entre conjuntos" en términos de la diferencia de Minkowski:

Esta función no es una métrica , porque la igualdad no se cumple para ella , pero obviamente es simétrica, y la desigualdad de Rouge implica directamente la desigualdad triangular para ella:

Consecuencias

Sustituyendo , obtenemos

Sustituyendo , obtenemos

Sustituyendo , obtenemos

.

Véase también

Notas

  1. M. Z. Garaev, Sumas y productos de conjuntos y estimaciones de sumas trigonométricas racionales en campos de orden primo . Archivado el 11 de diciembre de 2017 en Wayback Machine , p. 17
  2. Texto resumen de la conferencia de Harald Helfgott en la Universidad Estatal de San Petersburgo  (enlace inaccesible)
  3. Conferencia de Harald Helfgott en la Universidad Estatal de San Petersburgo