Desigualdad del triángulo rojo

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La desigualdad del triángulo de Rouge conecta todos los conjuntos de diferencias de tres conjuntos por pares en un grupo arbitrario .

Redacción

Sea un grupo y . ${\ estilo de visualización (G, +)}$ ${\ estilo de visualización U, V, W \ subconjunto G}$

Entonces , donde . $|U|\cdot |VW|\leq |VU|\cdot |UW|$ $AB=\left\lbrace {ab:a\in A,b\in B}\right\rbrace$

Desigualdad triangular con suma

Hay una desigualdad más [1] similar a la desigualdad del triángulo de Rouge, que, sin embargo, es más difícil de probar que la clásica: usando la desigualdad de Plünnecke-Rouge , que a su vez se prueba usando la desigualdad clásica de Rouge.

|U|\cdot |V+W|\leq |V+U|\cdot |U+W|

Prueba

Considere una función definida como . Entonces para cada imagen hay al menos diferentes imágenes inversas de la forma . Esto significa que el número total de preimágenes no es inferior a . Medio, ${\displaystyle\varphi:(VU)\times (UW)\to (VW)}$ ${\ estilo de visualización \ varphi (x, y) = x + y}$ $vw\en VW$ ${\ estilo de visualización | U |}$ ${\ estilo de visualización (vu, uw), u \ en U}$ ${\ estilo de visualización | VW | | U |}$ $|U||VW|\leq |VU||UW|$

Una analogía con la desigualdad triangular

Considere una función [2] [3] que define la "distancia entre conjuntos" en términos de la diferencia de Minkowski:

${\displaystyle \rho (A,B)=\log {\frac {|AB|}{\sqrt {|A||B|))))$

Esta función no es una métrica , porque la igualdad no se cumple para ella , pero obviamente es simétrica, y la desigualdad de Rouge implica directamente la desigualdad triangular para ella: ${\ estilo de visualización \ rho (A, A) = 0}$