Nomograma

Nomograma (del otro griego νόμος - ley y γράμμα - letra) - representación gráfica de una función de varias variables , que permite usar operaciones geométricas simples (por ejemplo, aplicar una regla) para explorar dependencias funcionales sin cálculos. Por ejemplo, resolver una ecuación cuadrática sin usar fórmulas.

Nomografía

Las representaciones geométricas de dependencias entre variables, eliminando cálculos, se conocen desde hace mucho tiempo. El desarrollo de la teoría de las construcciones nomográficas comenzó en el siglo XIX. La teoría de la construcción de nomogramas de cuadrículas rectilíneas fue creada por primera vez por el matemático francés L. L. Lalanne (1843). M. Okan (1884-1891) dio los fundamentos de la teoría general de las construcciones nomográficas ; en sus obras apareció por primera vez el término "nomograma" , establecido para su uso en 1890 por el Congreso Internacional de Matemáticos en París. N. M. Gersevanov (1906-1908) fue el primero en trabajar en este campo en Rusia ; entonces - N. A. Glagolev , quien creó la escuela nomográfica soviética .

La peculiaridad de los nomogramas es que cada dibujo representa un área determinada de cambio de variables y cada uno de los valores de las variables en esta área se muestra en el nomograma mediante un determinado elemento geométrico (punto o línea); las imágenes de los valores de las variables relacionadas por dependencia funcional están sobre el nomograma en una cierta correspondencia, común para nomogramas del mismo tipo.

Los nomogramas se distinguen por el método de mostrar los valores de las variables (puntos o líneas) y por el método de establecer la correspondencia entre las imágenes de las variables. Los nomogramas más comunes son:

de puntos alineados Para ecuaciones con tres variables, se utilizan tres escalas, que se construyen de modo que los tres puntos que satisfacen la ecuación se encuentran en la misma línea recta, de ahí el nombre del tipo de nomograma. Fue con ellos que comenzó el desarrollo de la nomografía, una rama de las matemáticas que combina teoría y métodos prácticos para construir nomogramas. malla Para construir nomogramas de cuadrícula a partir de líneas rectas, se utilizan cuadrículas funcionales, las más simples de las cuales son logarítmicas y semilogarítmicas. Además de una línea recta, se pueden usar otros índices de nomogramas de resolución : círculos (Godsel), una curva arbitraria (Schwerdt), patas de un cuadrado de dibujo (Sigler), etc. transparente En el caso más simple, consta de dos planos, el plano principal y la transparencia, con imágenes de variables en ellos. La pancarta suele estar hecha de material transparente. Un ejemplo de un nomograma transparente es una regla de cálculo .

Al construir nomogramas de cuadrícula, se puede establecer una tarea adicional, la anamorfosis : encontrar una transformación en la que las tres familias de líneas del nomograma se conviertan en familias de líneas, lo que simplifica su dibujo.

Para ecuaciones con muchas variables, se utilizan nomogramas compuestos, que consisten en nomogramas conectados por escalas comunes o familias de líneas.

Ejemplos

Resistencia paralela / lentes delgadas

El nomograma en la figura le permite calcular

El nomograma es interesante porque permite cálculos no lineales útiles utilizando una línea recta en escalas graduadas linealmente.

A y B se miden en las escalas horizontal y vertical, y el resultado se lee en la escala diagonal. Al ser proporcional a la media armónica de los números A y B , la fórmula tiene varias aplicaciones. Por ejemplo, la resistencia de conductores conectados en paralelo en redes eléctricas y la ecuación de lentes delgadas en óptica .

En la figura, la línea roja muestra que con una conexión en paralelo de resistencias de 56 y 42  ohmios, la resistencia del circuito será de 24 ohmios. El nomograma también muestra que un objeto a una distancia de 56 cm de una lente con una distancia focal de 24 cm forma una imagen óptica a una distancia de 42 cm.

Nomograma chi-cuadrado

El nomograma de la figura se puede utilizar para aproximar algunas de las cantidades necesarias para calcular la conocida prueba de bondad de ajuste de Pearson . Este nomograma muestra el uso de escalas curvas con graduaciones no lineales.

La expresión correspondiente es:

La escala en la parte superior corresponde a cinco intervalos diferentes de valores observados: A, B, C, D y E. El valor observado se busca entre estos valores y se selecciona una etiqueta encima. Luego, se selecciona el valor esperado en las escalas curvas correspondientes. Por ejemplo, para un valor observado de 9, se elige una etiqueta sobre el número 9 en el intervalo A y se usa la curva de escala A para el valor esperado. Para un valor observado de 81, se utilizará una marca sobre 81 en el intervalo E y una curva de escala E para el valor esperado. Esto permite que varios nomogramas encajen en un gráfico.

En la figura, la línea azul muestra el cálculo

(9 - 5) 2 / 5 = 3.2,

y el rojo es el calculo

(81 - 70) 2/70 = 1,7.

La corrección de Yates se usa a menudo para realizar la prueba  ; simplemente reste 0,5 de los valores observados. El nomograma para la prueba corregida de Yates se puede construir simplemente desplazando cada escala de "observación" media unidad hacia la izquierda, de modo que en lugar de 1.0, 2.0, 3.0, ..., los valores parezcan ser 0.5, 1.5 , 2.5 , ….

Véase también

Literatura

Enlaces