Expansión normal

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Una extensión normal es una extensión algebraica de un campo para el cual todo polinomio irreducible sobre , que tiene al menos una raíz en , se descompone en factores lineales. ${\ estilo de visualización K \ subconjunto E}$ $f(x)$ $k$ $mi$ $mi$

Una definición equivalente: Si , donde es la clausura algebraica del campo , entonces es normal si cualquier homomorfismo del campo en la clausura algebraica es un automorfismo del campo . $K \subconjunto E \subconjunto K^*$ $K^{*}$ $k$ $mi$ $\sigma$ $mi$ $K^{*}$ $k$ $mi$

Expansión normal como campo de descomposición

Cualquier extensión es normal si y solo si es un campo de descomposición de algún conjunto de polinomios de . ${\ estilo de visualización K \ subconjunto E}$ $mi$ $k[x]$

Extensiones normales según Galois

Si es una extensión de Galois del campo , y es un subcampo intermedio de , entonces el grupo de Galois por definición consta de todos los automorfismos de , dejando los elementos fijos. Si es algún automorfismo del grupo completo de Galois , que se corresponde con eso, es obvio que $F$ $k$ $mi$ $K\subconjunto E\subconjunto F$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Gal} (F/E)}$ $F$ $mi$ $\sigma$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Gal} (F/K)}$ $mi$ ${\ estilo de visualización \ sigma (E)}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/\sigma E)=\sigma \operatorname {Gal} (F/E)\sigma ^{-1))$

Por lo tanto, una extensión es normal si y solo si el subgrupo es un subgrupo normal en (de ahí la terminología). $mi$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Gal} (F/E)}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Gal} (F/K)}$

Literatura

Van der Waerden B. L. Álgebra. Moscú: Nauka, 1975.
Zarissky O. , Samuel P. Álgebra conmutativa, volumen 1. M .: IL, 1963.
Leng S. Álgebra. M.: Mir, 1967.