Campo de descomposición
El campo de descomposición de un polinomio p sobre un campo es la extensión más pequeña del campo sobre la que se descompone en un producto de factores lineales:
dónde
En este caso, es decir, este es el campo máximo posible, todos los elementos donde se pueden formar sumando y multiplicando elementos de campo y números tanto entre sí como entre sí. Por tanto, se habla del campo de descomposición como una extensión que se obtiene sumando todas las raíces de un polinomio dado.
De manera similar, introducimos el concepto de un campo de descomposición para una familia de polinomios , una extensión L tal que cada p i se descompone en L [ x ] en factores lineales y L se genera sobre K por todas las raíces p i . El campo de descomposición de un conjunto finito de polinomios p 1 , p 2 , …, p n será obviamente el campo de descomposición de su producto p=p 1 p 2 …p n .
El campo de expansión es una extensión normal . Además, cada extensión normal se puede representar como un campo de descomposición de alguna familia de polinomios.
Propiedades
- El campo de descomposición de una familia finita de polinomios es una extensión algebraica finita del campo .
- El campo de descomposición de un polinomio existe para cualquier familia de polinomios pi y está definido únicamente hasta un isomorfismo que es idéntico en K .
Ejemplos
- Si el grado del polinomio no excede , entonces .
- El campo de los números complejos sirve como campo de expansión de un polinomio sobre el campo de los números reales .
- Cualquier campo finito , donde , es el campo de expansión de un polinomio sobre un subcampo simple .
Literatura
- Van der Waerden B. L. Álgebra -M:, Nauka, 1975
- Zarissky O., Samuel P. Álgebra conmutativa v.1 - M:, IL, 1963
- Leng S. Álgebra -M:, Mir, 1967