Coordenadas normales

Las coordenadas normales son un sistema de coordenadas local en la vecindad de un punto en una variedad Riemanniana (o, más generalmente, una variedad con una conexión afín ) obtenido de las coordenadas en el espacio tangente en ese punto aplicando el mapa exponencial .

En el punto base del sistema de coordenadas normal, los símbolos de Christoffel se establecen en cero; esto a menudo simplifica los cálculos.

Edificio

Sea una variedad suave con una conexión afín y sea un mapeo exponencial correspondiente. Entonces las coordenadas normales del punto se consideran iguales a las coordenadas del vector en el espacio tangente . $METRO$ $\exp _{p}\dos puntos T_{p}\to M$ ${\ estilo de visualización x = \ exp _ {p} v}$ $v$ $T_{p}$

La elección de las últimas coordenadas es arbitraria; en particular, para una variedad de Riemann , se puede suponer que las coordenadas son rectangulares.

Notas

Las coordenadas normales se definen dentro del radio de inyectividad del punto base . $pags$

Propiedades

Los símbolos de Christoffel se establecen en cero en el punto base de las coordenadas normales.

El lema de Gauss establece que las pequeñas esferas de coordenadas centradas en el origen son esferas métricas y permanecen perpendiculares a las geodésicas que se originan en el punto base.

Las componentes del tensor de curvatura están determinadas únicamente por el polinomio de Taylor de grado dos del tensor métrico escrito en coordenadas normales. A saber:

g_{ij}(x)=\delta_{ij}-{\tfrac {1}{3}}\cdot R_{iklj}\cdot x^{k}\cdot x^{l}+o (|x|^{2}).

Variaciones y generalizaciones

Las coordenadas normales se generalizan naturalmente a las variedades de Finsler . Dado que el mapa exponencial en las variedades de Finsler no es diferenciable dos veces en cero, [1] las coordenadas normales de una variedad de Finsler tampoco son uniformes en cero.

Notas

↑ Busemann, Herbert (1955), En coordenadas normales en espacios de Finsler , Mathematische Annalen T. 129: 417–423, ISSN 0025-5831 , DOI 10.1007/BF01362381 .