Norma (teoría de campos)

La norma es un mapeo de elementos de una extensión finita E de un campo K en el campo original K , definido como sigue:

Sea E una extensión finita del campo K de grado n , sea algún elemento del campo E. Dado que E es un espacio vectorial sobre K , este elemento define una transformación lineal . Esta transformación en alguna base se puede asociar con la matriz . El determinante de esta matriz se llama norma del elemento α . Dado que en otra base el mapeo corresponderá a una matriz similar con el mismo determinante, la norma no depende de la base elegida, es decir, un elemento de la extensión puede asociarse de manera única con su norma. Se denota o simplemente , si está claro de qué extensión se trata. $\alfa$ $x\mapsto\alpha x$ $N_{K}^{E}(\alpha )$ ${\ estilo de visualización N (\ alfa)}$

Propiedades

${\ estilo de visualización N (\ alfa) = 0}$ si y solo si . ${\ estilo de visualización \ alfa = 0}$
$N_{K}^{E}(\alpha )=\alpha ^{[E:K]}$ para cualquiera $\alfa \in K$
$N(\alpha \beta )=N(\alpha )\cdot N(\beta )$
La norma es transitiva, es decir, para una cadena de extensiones tenemos $K\subconjunto E\subconjunto F$ $N_{K}^{E}(N_{E}^{F}(\alpha ))=N_{K}^{F}(\alpha )$
Si E = K ( α ) es una extensión algebraica simple y f ( x ) = x n + a n -1 x n -1 + … + a 1 x+ a 0 es el polinomio mínimo α, entonces ${\displaystyle N_{K}^{E}(\alpha )=(-1)^{n}a_{0))$

Expresando la norma en términos de automorfismos de E sobre K

Sean σ 1 , σ 2 … σ m todos los automorfismos de E que mantienen fijos los elementos del campo K . Si E es una extensión de Galois , entonces m es igual al grado [ E : K ] = n . Entonces existe la siguiente expresión para la norma:

$N_{K}^{E}(\alpha )=\sigma_{1}(\alpha )\sigma_{2}(\alpha )\ldots \sigma_{m}(\alpha )$

Si E no es separable, entonces m≠n , pero n es un múltiplo de m , y el cociente es alguna potencia de la característica p .

Después $N_{K}^{E}(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha )\sigma _{2}(\alpha )\ldots \sigma _{m}(\alpha )) ^{n/m}.$

Ejemplo

Sea R el campo de los números reales , C el campo de los números complejos considerado como una extensión de R . Entonces, en la base , la multiplicación por corresponde a la matriz ${\ estilo de visualización (1, yo)}$ $a+bi$

{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}

El determinante de esta matriz es , es decir, el cuadrado del módulo habitual de un número complejo . Tenga en cuenta que esta norma generalmente se define como y esto concuerda bien con el hecho de que el único automorfismo no trivial del campo de los números complejos es la conjugación compleja . $a^{2}+b^{2}$ $|z|^{2}=z{\bar{z)),$

Véase también

Literatura

Van der Waerden B. L. Álgebra. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Álgebra conmutativa. - M. : IL, 1963. - T. 1.
Leng S. Álgebra. — M .: Mir, 1967.