Cuadrilátero generalizado

Un cuadrilátero generalizado es una estructura de incidencia cuya propiedad principal es la ausencia de triángulos (sin embargo, la estructura contiene muchos cuadriláteros). Un cuadrilátero generalizado es, por definición, un espacio polar rango dos. Los cuadriláteros generalizados son polígonos generalizados con n = 4 y casi 2n-ágonos con n = 2. También son geometrías exactamente parciales pg( s , t ,α) con α = 1.

Definición

Un cuadrilátero generalizado es una estructura de incidencia ( P , B , I), donde es una relación de incidencia que satisface ciertos axiomas . Los elementos de P , por definición, son vértices (puntos) de un cuadrilátero generalizado, los elementos de B son líneas rectas . Los axiomas son: $\mathrm {I} \subseteq P\times B$

Hay un número s ( s ≥ 1) tal que hay exactamente s + 1 puntos en cualquier línea. Hay a lo sumo un punto en dos líneas distintas.
Existe un número t ( t ≥ 1) tal que por cualquier punto pasan exactamente t + 1 rectas . Hay a lo sumo una línea a través de dos puntos distintos.
Para cualquier punto p que no esté sobre la línea L , existe una única línea M y un único punto q tales que p está en M y q está en M y L.

Un par de números ( s , t ) son los parámetros del cuadrilátero generalizado. Las opciones pueden ser infinitas. Si el número s o t es igual a uno, el cuadrilátero generalizado se llama trivial . Por ejemplo, una red de 3x3 con P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} y B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} es un cuadrilátero generalizado trivial con s = 2 y t = 1. Un cuadrilátero generalizado con parámetros ( s , t ) a menudo se denota como GQ( s , t ) (del cuadrilátero generalizado en inglés ).

El cuadrilátero generalizado no trivial más pequeño es GQ(2,2) , cuya representación Stan Payne llamó la "servilleta" en 1973.

Propiedades

${\ estilo de visualización | P | = (st + 1) (s + 1)}$
${\ estilo de visualización | B | = (st + 1) (t + 1)}$
${\ estilo de visualización (s + t) | st (s + 1) (t + 1)}$
$s\neq 1\Longrightarrow t\leq s^{2}$
${\displaystyle t\neq 1\Longrightarrow s\leq t^{2))$

Condes

Hay dos gráficos interesantes que se pueden obtener de un cuadrilátero generalizado.

Un gráfico colineal que contiene todos los puntos de un cuadrilátero generalizado como vértices, en el que los puntos colineales están conectados por una arista. Este gráfico es un gráfico fuertemente regular con parámetros ((s+1)(st+1), s(t+1), s-1, t+1), donde (s,t) es el orden del cuadrilátero.
Un gráfico de incidencia cuyos vértices son todos los puntos y líneas de un cuadrilátero generalizado y dos vértices son adyacentes si un vértice corresponde a una línea y el otro a un punto en esa línea. El gráfico de incidencia de un cuadrilátero generalizado está conectado y es un gráfico bipartito con diámetro cuatro y circunferencia ocho. Por lo tanto, un cuadrilátero generalizado es un ejemplo de celda . Los gráficos de incidencia de las configuraciones se denominan actualmente gráficos de Levy , sin embargo, el gráfico de Levy original era el gráfico de incidencia del cuadrilátero generalizado GQ(2,2).

Dualidad

Si ( P , B ,I) es un cuadrilátero generalizado con parámetros ( s , t ), entonces ( B , P ,I −1 ) también es un cuadrilátero generalizado (aquí I −1 significa la relación de incidencia inversa). Este cuadrilátero se llama el cuadrilátero dual generalizado . Sus parámetros serán el par ( t , s ). Incluso para s = t , la estructura dual no es necesariamente isomorfa a la estructura original.

Cuadriláteros generalizados con tamaño de línea 3

Hay exactamente cinco (permitidos degenerados) cuadriláteros generalizados en los que cada línea tiene tres puntos incidentes.

cuadrilátero con conjunto vacío de líneas
cuadrilátero en el que todas las rectas pasan por un punto fijo, que corresponde al molino de viento Wd(3,n)
rejilla 3x3
cuadrilátero W(2)
cuadrilátero generalizado GQ(2,4)

Estos cinco cuadriláteros corresponden a los cinco sistemas de raíces en las clases ADE A n , D n , E 6 , E 7 y E 8 , es decir sistemas raíz de un solo hilo (esto significa que los elementos en los diagramas de Dynkin no tienen enlaces múltiples) [1] [2] .

Cuadriláteros generalizados clásicos

Si consideramos diferentes tipos de espacios polares de rango al menos tres y los extrapolamos al rango 2, podemos encontrar estos cuadriláteros generalizados (finitos):

La superficie hiperbólica de segundo orden (cuádrica) , la cuádrica parabólica y la cuádrica elíptica son las únicas cuádricas posibles en espacios proyectivos sobre campos finitos con índice proyectivo 1. Los parámetros de estas cuádricas son: $Q^{+}(3,q)$ ${\ estilo de visualización Q (4, q)}$ $Q^{-}(5,q)$

{\ estilo de visualización Q (3, q): \ s = q, t = 1}

(es solo una cuadrícula)

{\ estilo de visualización Q (4, q): \ s = q, t = q}

{\displaystyle Q(5,q):\ s=q,t=q^{2))

Una variedad hermitiana tiene índice proyectivo 1 si y solo si n es 3 o 4. Tenemos: $H(n,q^{2})$

H(3,q^{2}):\ s=q^{2},t=q

{\displaystyle H(4,q^{2}):\ s=q^{2},t=q^{3))

La polaridad simpléctica en tiene un subespacio isótropo máximo de dimensión 1 si y sólo si . Aquí tenemos un cuadrilátero generalizado , con parámetros . $PG(2d+1,q)$ $re=1$ ${\ estilo de visualización W (3, q)}$ ${\ estilo de visualización s = q, t = q}$

El cuadrilátero generalizado derivado de siempre es isomorfo a la estructura dual de , ambas estructuras son autoduales y, por lo tanto, son isomorfas entre sí si y solo si es par. ${\ estilo de visualización Q (4, q)}$ ${\ estilo de visualización W (3, q)}$ $q$

Ejemplos no clásicos

Sea O un hiperóvalo con q igual a una potencia par de un número primo y una incrustación de este plano proyectivo (desarguesiano) en . Ahora considere la estructura de incidencia , en la que todos los puntos son puntos que no se encuentran sobre . Las líneas de esta estructura son puntos que no se encuentran y se cortan en el punto O , y la incidencia se define de forma natural. Este es un cuadrilátero generalizado (q-1,q+1) . ${\displaystylePG(2,q)}$ $\Pi$ ${\displaystylePG(3,q)}$ $T_{2}^{*}(O)$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$
Sea q una potencia de un número primo (par o impar). Considere la polaridad simpléctica en . Elegimos un punto aleatorio p y determinamos . Sean las líneas de nuestra estructura de incidencia todas las líneas absolutas [3] que no están en , junto con todas las líneas que pasan por el punto p , pero que no están en , y los puntos — todos los puntos que no están en . La relación de incidencia será la incidencia natural. Obtuvimos de nuevo (q-1,q+1) -cuadrilátero generalizado. $\ theta$ ${\displaystylePG(3,q)}$ ${\ estilo de visualización \ pi = p ^ {\ theta}}$ $\Pi$ $\Pi$ ${\displaystylePG(3,q)}$ $\Pi$

Restricciones de parámetros

Para retículas y retículas duales, para cualquier número entero z , z ≥ 1, existen cuadriláteros generalizados con parámetros (1, z ) y ( z ,1). Aparte de este caso, solo se consideran admisibles los siguientes parámetros (aquí q es una potencia arbitraria de un número primo ):

{\ estilo de visualización (q, q)}

{\ estilo de visualización (q, q ^ {2})}

{\ estilo de visualización (q^{2}, q)}

{\ estilo de visualización (q^{2},q^{3})}

{\ estilo de visualización (q^{3},q^{2})}

{\ estilo de visualización (q-1, q + 1)}

{\ estilo de visualización (q+1,q-1)}

Notas

↑ Cameron, Goethals, Seidel, Shult, 1976 , pág. 305-327.
↑ Navegador .
↑ Que el espacio esté dotado de polaridad (un mapeo de puntos a líneas de orden dos con preservación de la incidencia). En este caso, el punto puede estar sobre su imagen (sobre la línea), pero esto no es necesario. Un punto es absoluto si se encuentra sobre su imagen, y una línea es absoluta si pasa a través de su imagen (punto).

Literatura

Payne SE, Thas JA Cuadrángulos generalizados finitos . - Boston, MA: Pitman (Programa de publicación avanzado), 1984. - V. 110. - P. vi+312. — (Apuntes de Investigación en Matemáticas). - ISBN 0-273-08655-3 .
- Payne SE, Thas JA Cuadrángulos finitos generalizados. - Sociedad Matemática Europea, 2009. - (Serie de Conferencias de Matemáticas EMS). - ISBN 978-3-03719-066-1 .

Cameron PJ, Goethals JM, Seidel JJ, Shult EE Gráficos lineales, sistemas de raíces y geometría elíptica // Journal of Algebra. - Prensa Académica, 1976. - V. 43 , no. 1 .
Brouwer A.E. Álgebra y Geometría . – Curso 2WF02 / 2WF05. (indefinido)