Diagrama de Dynkin

Un diagrama de Dynkin ( diagrama de Dynkin ) es un tipo de gráfico en el que algunos bordes se duplican o triplican (dibujados como una línea doble o triple). Se orientan varios bordes, con algunas restricciones . Nombrado en honor al matemático soviético Evgeny Dynkin , quien los aplicó por primera vez en 1946.

La principal aplicación de los diagramas es la clasificación de álgebras de Lie semisimples sobre campos algebraicamente cerrados : conducen a grupos de Weyl , es decir, a muchos (aunque no todos) grupos de reflexión finitos . Los diagramas de Dynkin también surgen en otros contextos.

El término "diagrama de Dynkin" puede ser ambiguo. En algunos casos se supone que los diagramas de Dynkin están orientados, en cuyo caso corresponden a sistemas de raíces y álgebras de Lie semisimples, mientras que en otros casos se supone que no están dirigidos, en cuyo caso corresponden a grupos de Weyl. Los diagramas orientados para y dan el mismo diagrama no dirigido como se indica en este artículo por defecto "Diagrama de Dynkin" significa diagrama de Dynkin dirigido , y para los diagramas de Dynkin no dirigidos esto se establece explícitamente. $B_{n}$ $C_{n}$ $BC_{n}.$

Diagramas finitos de Dynkin
Diagramas de Dynkin afines (extendidos)

Clasificación de álgebras de Lie semisimples

El interés fundamental en los diagramas de Dynkin surge porque permiten clasificar álgebras de Lie semisimples sobre campos algebraicamente cerrados. Algunos clasifican tales álgebras de Lie en términos de sus sistemas de raíces , que pueden representarse mediante diagramas de Dynkin. Otros clasifican los diagramas de Dynkin de acuerdo con las restricciones que deben satisfacer, como se analiza a continuación.

Deshacerse de la direccionalidad de los bordes del gráfico corresponde a reemplazar el sistema raíz por el grupo de reflexión finito que crean, el llamado grupo de Weil , y así los diagramas de Dynkin no dirigidos clasifican los grupos de Weyl.

Clasificaciones relacionadas

Los diagramas de Dynkin se pueden usar para clasificar muchas entidades diferentes, y la notación "A n , B n , ..." se usa para referirse a todas esas interpretaciones según el contexto. Tal ambigüedad puede ser confusa.

La clasificación central se refiere a álgebras de Lie simples que tienen un sistema raíz y a las que se asocian diagramas de Dynkin (orientados). Los tres (enumerados a continuación), por ejemplo, se pueden indicar como B n .

Un diagrama de Dynkin no dirigido es una especie de diagrama de Coxeter y corresponde al grupo de Weil, que es el grupo de reflexión finito asociado con el sistema raíz. Por lo tanto, B n puede referirse a un diagrama no dirigido (un tipo especial de diagrama de Coxeter), un grupo de Weyl (un grupo de reflexión concreto) o un grupo de Weyl abstracto.

Tenga en cuenta que si bien el grupo de Weyl es, en abstracto, isomorfo al grupo de Coxeter, el isomorfismo particular depende del orden de las raíces simples. Tenga en cuenta que la notación de los diagramas de Dynkin está estandarizada, mientras que los diagramas de Coxeter y la notación de grupos varían y algunas veces concuerdan con el diagrama de Dynkin y otras veces no.

Finalmente, a veces los objetos asociados se denotan con la misma notación, aunque esto no siempre es posible de manera regular. Ejemplos:

La red de raíces formada por el sistema de raíces, como en la red E 8 . Se define naturalmente, pero no uno a uno; por ejemplo, A 2 y G 2 forman la misma red hexagonal .
Politopo asociado: por ejemplo, Gosset 4 21 se puede etiquetar como "politopo E 8 ", ya que sus vértices se derivan del sistema raíz E 8 y tiene el grupo E 8 Coxeter como su grupo de simetría.
Forma cuadrática asociada o variedad: por ejemplo, E 8 tiene una forma de intersección dada por la red E 8 .

Estas últimas designaciones se usan con mayor frecuencia para objetos asociados con diagramas excepcionales; para objetos asociados con diagramas ordinarios (A, B, C, D), se usan nombres tradicionales.

El índice ( n ) es igual al número de nodos en el diagrama, el número de raíces simples en la base, la dimensión de la red de raíces y el tramo lineal del sistema raíz, el número de generadores del grupo de Coxeter y el rango del álgebra de Lie. Sin embargo, n no es necesariamente igual a la dimensión del módulo definidor ( representación fundamental ) del álgebra de Lie; el índice del diagrama de Dynkin no debe confundirse con el índice del álgebra de Lie. Por ejemplo, corresponde a , que actúa en un espacio de 9 dimensiones, pero tiene rango 4 como álgebra de Lie. $B_{4}$ ${\mathfrak {así}}_{2\cdot 4+1}={\mathfrak {así}}_{9},$

Los diagramas de Dynkin de un solo hilo , es decir, que no tienen aristas múltiples (A, D, E), clasifican muchos otros objetos matemáticos. Ver la discusión en Clasificación ADE .

Ejemplo: A2

Por ejemplo, una designación podría referirse a: $A_{2}$

Diagrama de Dynkin con dos nodos conectados,, que también se puede considerar como un diagrama de Coxeter .
Un sistema de raíces con dos raíces simples en un ángulo(120 grados). $2\pi /3$
Lie álgebra de rango 2. ${\mathfrak {sl}}_{2+1}={\mathfrak {sl}}_{3}$
El grupo de Weyl de simetrías de raíces (reflexiones con respecto a hiperplanos ortogonales a las raíces), que es isomorfo al grupo simétrico (de orden 6). $S_{3}$
Grupo Coxeter abstracto , representado por generadores y conexiones, $\left\langle r_{1},r_{2}\mid (r_{1})^{2}=(r_{2})^{2}=(r_{i}r_{j})^{3 }=1\derecho\rango.$

Restricciones

El diagrama de Dynkin debe satisfacer ciertas restricciones, las que cumplen los diagramas finitos de Coxeter-Dynkin y, además, restricciones cristalográficas adicionales.

Relación con los diagramas de Coxeter

Los diagramas de Dynkin están estrechamente relacionados con los diagramas de Coxeter de grupos finitos de Coxeter, y la terminología a menudo se combina [nota 1] .

Los diagramas de Dynkin difieren de los diagramas de Coxeter de grupos finitos en dos aspectos importantes:

orientación parcial Los diagramas de Dynkin están parcialmente orientados : cualquier borde múltiple (en términos de Coxeter, etiquetado como "4" y superior) tiene una dirección (una flecha que apunta de un nodo a otro). Por lo tanto, el diagrama de Dynkin contiene más información que el diagrama de Coxeter correspondiente (gráfico no dirigido). A nivel de sistemas raíz, la dirección corresponde a apuntar a un vector más corto. Los bordes etiquetados como "3" no tienen dirección porque los vectores correspondientes deben tener la misma longitud. (Sugerencia: algunos autores usan la convención inversa, apuntando la flecha a un vector más largo). Limitación cristalográfica Los diagramas de Dynkin deben satisfacer una restricción adicional, a saber, que solo se permiten los bordes con las etiquetas 2, 3, 4 y 6. Esta restricción no se aplica a los diagramas de Coxeter, por lo que no todos los diagramas de Coxeter de un grupo finito provienen de un diagrama de Dynkin. A nivel de sistemas de raíces, esto corresponde al teorema de las restricciones cristalográficas .

Otra diferencia, puramente estilística, es que se acostumbra dibujar diagramas de Dynkin con aristas duplicadas y triplicadas entre nodos (para p = 4, 6), en lugar de estar marcados con el número “ p ”.

El término "diagrama de Dynkin" a veces se denomina gráficos dirigidos y, a veces, no dirigidos . Para mayor precisión, en este artículo, "diagrama de Dynkin" significará dirigido, y el gráfico no dirigido correspondiente se llamará "diagrama de Dynkin no dirigido". Por lo tanto, los diagramas de Dynkin y los diagramas de Coxeter se pueden relacionar de la siguiente manera:

	cristalográfico	grupos de puntos
orientado	Diagramas de Dynkin
desorientado	Diagramas de Dynkin no dirigidos	Diagramas de Coxeter-Dynkin de grupos finitos

Esto significa que los diagramas de Coxeter de grupos finitos corresponden a grupos de puntos generados por reflexiones, mientras que los diagramas de Dynkin deben satisfacer restricciones adicionales correspondientes al teorema de restricciones cristalográficas . También significa que los diagramas de Coxeter no están dirigidos, mientras que los diagramas de Dynkin están (parcialmente) orientados.

Objetos matemáticos sistematizados por diagramas:

	cristalográfico	grupos de puntos
orientado	Sistemas de raíces
desorientado	Grupos de bienestar	Grupos finitos de Coxeter

El espacio vacío en la esquina superior derecha correspondiente a gráficos dirigidos con gráficos no dirigidos subyacentes de cualquier diagrama de Coxeter (grupo finito) se puede definir formalmente, pero estas definiciones no permiten una interpretación simple en términos de objetos matemáticos.

Hay mapeos de estrechamiento naturales: desde diagramas de Dynkin a diagramas de Dynkin no dirigidos y, en consecuencia, de sistemas de raíces a grupos de Weyl asociados, así como mapeos directos de diagramas de Dynkin no dirigidos a diagramas de Coxeter y, en consecuencia, de grupos de Weyl a grupos de Coxeter finitos. .

Las asignaciones de estrechamiento se asignan a (por definición), pero no uno a uno. Por ejemplo, los diagramas B n y C n corresponden al mismo diagrama no dirigido, por lo que a veces el diagrama de Coxeter resultante y el grupo de Weyl se denotan como BC n .

Las asignaciones directas son simplemente inclusiones: los diagramas de Dynkin no dirigidos son un caso especial de los diagramas de Coxeter, y los grupos de Weil son casos especiales de grupos finitos de Coxeter, y esta asignación no está activada , ya que no todos los diagramas de Coxeter son diagramas de Dynkin no dirigidos (los diagramas que faltan son H 3 , H 4 e I 2 ( p ) para p = 5 p ≥ 7), y, en consecuencia, no todo grupo finito de Coxeter es un grupo de Weil.

Isomorfismos

Los diagramas de Dynkin generalmente se numeran para que la lista no sea redundante: para para para y comenzando por Elementos de familias, sin embargo, también se puede definir para n inferior, obteniendo isomorfismos excepcionales de diagramas y los correspondientes isomorfismos excepcionales de álgebras de Lie y grupos de Lie asociados. $n\geq 1$ $Un},$ $n\geq 2$ $B_{n},$ $n\geq 3$ $C_{n},$ $n\geq 4$ $D_{n}$ $E_{n}$ ${\ estilo de visualización n = 6.}$

Es más fácil comenzar con los casos n = 0 o n = 1, en los que todas las series son isométricas y solo hay un diagrama vacío y un diagrama de nodo. Otros isomorfismos de diagramas de Dynkin conectados:

$A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}$
$B_{2}\cong C_{2}$
$D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}$
$D_{3}\cong A_{3}$
$E_{3}\cong A_{1}\times A_{2}$
$E_{4}\cong A_{4}$
$E_{5}\cong D_{5}$

Estos isomorfismos corresponden a isomorfismos de álgebras de Lie simples y semisimples.

Automorfismos

Además de los isomorfismos entre diferentes diagramas, algunos diagramas también tienen isomorfismos sobre sí mismos, es decir, " automorfismos ". Los automorfismos de diagrama corresponden a los automorfismos externos del álgebra de Lie, lo que significa que el grupo de automorfismos externos Out = Aut/Inn es igual al grupo de automorfismos de diagrama [1] [2] [3] .

Los diagramas con automorfismos no triviales son A n ( ), D n ( ) y E 6 . En todos estos casos, a excepción de D 4 , existe un automorfismo no trivial (Out = C 2 , grupo cíclico de orden 2), mientras que para D 4 el grupo de automorfismos es un grupo simétrico de tres letras ( S 3 , orden 6) - este fenómeno conocido como " triplicidad ". Resulta que todos estos automorfismos de diagrama pueden representarse como simetrías del dibujo tradicional de diagramas en el plano euclidiano, pero esto es solo el resultado de cómo se dibujan, y no la estructura inherente de los diagramas. $n>1$ $n>1$

Para A n , un automorfismo de diagramas es una inversión del diagrama. Los nodos del diagrama están indexados por pesos fundamentales , que (para A n −1 ) son iguales a , y el automorfismo del diagrama corresponde a la dualidad Considerado como un álgebra de Lie, el automorfismo externo puede expresarse como una transposición negativa, [2] . $\bigwedge ^{i}C^{n}$ $i=1,\puntos,n$ $\bigwedge ^{i}C^{n}\mapsto \bigwedge ^{ni}C^{n}.$ ${\mathfrak{sl}}_{n+1},$ $T\mapsto -T^{\mathrm {T} }$

Para D n , el automorfismo del diagrama cambia los dos nodos al final de Y, y corresponde al cambio de dos representaciones de espinores quirales . Visto como un álgebra de Lie, un automorfismo externo se puede expresar como una conjugación usando una matriz O(2 n ) con determinante −1 [nota 2] . Tenga en cuenta que sus automorfismos son los mismos, mientras que este diagrama también está desconectado, por lo que el automorfismo corresponde a los nodos de conmutación. ${\mathfrak {entonces}}_{2n},$ $\mathrm {A} _{3}\cong \mathrm {D} _{3},$ $\mathrm {D} _{2}\cong \mathrm {A} _{1}\times \mathrm {A} _{1}$

Para D 4 , la representación fundamental es isomorfa a dos representaciones espinores y el grupo simétrico de tres letras resultante ( S 3 , o alternativamente el grupo diédrico de sexto orden , Dih 3 ) corresponde tanto a los automorfismos del álgebra de Lie como a los automorfismos del diagrama.

El automorfismo E 6 corresponde a la inversión del diagrama y se puede expresar usando álgebras de Jordan [2] .

Los diagramas desconectados que corresponden a álgebras de Lie semisimples pueden tener automorfismos obtenidos al reorganizar los componentes del diagrama.

Con una característica positiva, hay automorfismos de diagrama adicionales; en términos generales, con la característica p , uno puede ignorar las flechas en los enlaces de multiplicidad p en el diagrama de Dynkin al considerar un automorfismo de diagrama. Así, con la característica 2 hay un automorfismo de orden 2 para y para F 4 , mientras que con la característica 3 hay un automorfismo de orden 2 para G 2 . $\mathrm {B} _{2}\cong \mathrm {C} _{2}$

Construcción de grupos de Lie usando automorfismos de diagramas

Los automorfismos de diagrama crean grupos de Lie adicionales y grupos de tipo de Lie , razón por la cual su importancia central en la clasificación de grupos finitos simples.

La construcción del grupo de Chevalley de los grupos de Lie en términos de sus diagramas de Dynkin no da grupos clásicos, es decir, grupos unitarios y grupos ortogonales no divididos . Los grupos de Steinberg construyen grupos unitarios 2 A n , mientras que otros grupos ortogonales construyen 2 D n , y en ambos casos esto se refiere a la combinación de un automorfismo de diagrama con un automorfismo de campo. Esto también proporciona grupos de Lie exóticos adicionales 2 E 6 y 3 D 4 , siendo este último definido solo sobre campos con un automorfismo de orden 3.

Con una característica positiva, las características adicionales están dadas por el Grupo Suzuki - Ri , 2 B 2 , 2 F 4 y 2 G 2 .

Circunvoluciones

Un diagrama de Dynkin (de un solo subproceso) (finito o afín ) que tenga simetría (que satisfaga una de las siguientes condiciones) se puede plegar en simetría, produciendo un diagrama nuevo, generalmente de subprocesos múltiples (con múltiples bordes), utilizando un proceso llamado convolución . A nivel de álgebras de Lie, esto corresponde a tomar una subálgebra invariante bajo el grupo de automorfismos externo, y el proceso se puede definir puramente en el sistema raíz sin usar diagramas [4] . Además, cualquier diagrama de subprocesos múltiples (finito o infinito) se puede obtener mediante la convolución de un diagrama de un solo subproceso [5] .

Existe una condición para que sea posible un automorfismo de convolución para que el automorfismo sea posible: los diferentes nodos del gráfico en la misma órbita (bajo automorfismo) no deben estar conectados por un borde. A nivel del sistema de raíces, las raíces en la misma órbita deben ser ortogonales [5] . A nivel de diagrama, esto es necesario porque de lo contrario el diagrama resultante tendrá un bucle, ya que este une dos nodos que tienen un borde entre ellos, y los bucles no están permitidos en los diagramas de Dynkin.

Los nodos y bordes de los diagramas obtenidos ("plegados") son las órbitas de los nodos y bordes de los diagramas originales. Los bordes son únicos (no múltiples) si los bordes adyacentes no se asignan al mismo borde (especialmente para nodos de valencia mayor que 2 - "puntos de ramificación"), de lo contrario, el peso es el número de bordes adyacentes y la flecha apunta al nodo son incidentes con - "El punto de bifurcación está asignado a un punto no homogéneo". Por ejemplo, en D 4 , cuando se pliega en G 2 , los bordes en G 2 se dirigen desde los nodos externos de clase 3 (valencia 1) a los nodos centrales (valencia 3).

Convoluciones de diagramas finitos [6] [nota 3] :

$A_{2n-1}\a C_{n}$

(El automorfismo A 2 n no crea una contracción porque los dos nodos del medio están conectados por un borde pero no están en la misma órbita).

$D_{n+1}\a B_{n}$
$D_{4}\a G_{2}$ (si doblamos sobre un grupo completo o un ciclo de 3, además, de tres maneras diferentes si doblamos sobre una involución (un elemento con orden 2)) $D_{4}\a B_{3}$
$E_{6}\a F_{4}$

Existen circunvoluciones similares para diagramas afines:

${\tilde {A}}_{2n-1}\to {\tilde {C}}_{n}$
${\tilde {D}}_{n+1}\to {\tilde {B}}_{n}$
${\tilde {D}}_{4}\a {\tilde {G}}_{2}$
${\tilde {E}}_{6}\a {\tilde {F}}_{4}$

La notación de circunvoluciones también se puede utilizar para los diagramas de Coxeter-Dynkin [7] . Es posible generalizar contracciones admisibles del diagrama de Dynkin a H n e I 2 ( p ). Geométricamente, esto corresponde a las proyecciones de politopos homogéneos . Se puede ver que cualquier diagrama de Dynkin de una cadena se puede plegar en I 2 ( h ), donde h es el número de Coxeter , correspondiente geométricamente a la proyección sobre el plano de Coxeter .

La convolución se puede utilizar para reducir preguntas sobre álgebras de Lie (semisimples) a preguntas sobre álgebras de un solo subproceso, junto con un automorfismo que puede ser más simple que tratar directamente con álgebras de Lie con múltiples aristas. Esto se puede hacer mediante la construcción de álgebras de Lie semi-simples, por ejemplo. Consulte Math Overflow: Folding by Automorphisms Archivado el 11 de septiembre de 2015 en Wayback Machine para obtener más información.

Otras pantallas de gráficos

Sistema de raíces A 2	Sistema de raíces G 2

Algunas pantallas de gráficos adicionales tienen una interpretación significativa, como se explica a continuación. Sin embargo, no todas las asignaciones de sistemas raíz aparecen como asignaciones de diagramas [8] .

Por ejemplo, hay dos ocurrencias de sistemas de raíces A 2 en G 2 , ya sea como seis raíces largas o como seis raíces cortas. Sin embargo, los nodos en el diagrama G 2 corresponden a una raíz larga y otra corta, mientras que los nodos en el diagrama A 2 corresponden a raíces de igual longitud y, por lo tanto, este mapeo de sistemas de raíces no puede expresarse como un mapeo de diagramas.

Algunas inclusiones de sistemas raíz se pueden expresar como una relación gráfica donde un diagrama es un subgráfico generado de otro, lo que significa la aparición de "un subconjunto de nodos junto con todos los bordes entre ellos". Esto se debe a que eliminar un nodo del diagrama de Dynkin equivale a eliminar una raíz simple del sistema raíz, lo que da como resultado un sistema raíz con rango uno menos. Por el contrario, quitar una arista (o cambiar la multiplicidad de una arista) manteniendo los nodos corresponde a cambiar los ángulos entre las raíces, lo que no se puede hacer sin cambiar todo el sistema de raíces. De esta manera, puede eliminar nodos de manera significativa, pero no bordes. Quitar un nodo de un diagrama conexo puede dar un diagrama conexo (un álgebra de Lie simple) si el nodo es una hoja, o un diagrama desconectado (un grupo de Lie semisimple pero no simple) con dos o tres componentes (este último para D n y E n ). A nivel de álgebras de Lie, estas inclusiones corresponden a subálgebras de Lie.

Subgrafos máximos (aquí "conjugación" significa "por medio de un automorfismo de diagrama "):

A n +1 : A n , en dos caminos conjugados.
segundo norte +1 : un norte , segundo norte .
C norte +1 : Un norte , C norte .
D n +1 : A n (dos conjugados), D n .
E n +1 : A n , D n , E n .
- Para E 6 , dos de los cuales coinciden: y son conjugados. $\mathrm {D} _{5}\cong \mathrm {E} _{5}$
F 4 : B 3 , C 3 .
G 2 : A 1 , en dos formas no adjuntas (como raíces largas o raíces cortas).

Finalmente, la dualidad de los diagramas corresponde a un cambio en la dirección de las flechas, si las hay: [8] B n y C n son duales, mientras que F 4 y G 2 son autoduales porque son diagramas ADE de un solo hilo .

Diagramas unifilares

Los diagramas de Dynkin sin múltiples aristas se denominan de un solo hilo . Estos incluyen diagramas y la clasificación de objetos por tales diagramas se llama clasificación ADE . En este caso, los diagramas de Dynkin coinciden exactamente con los diagramas de Coxeter. $A_{n},D_{n},E_{n}$

Diagramas de Satake

Los diagramas de Dynkin clasifican álgebras de Lie semisimples complejas . Las álgebras de Lie semisimples reales se pueden clasificar como formas reales de álgebras de Lie semisimples complejas, y se clasifican mediante diagramas de Satake , que se pueden obtener de los diagramas de Dynkin marcando algunos nodos con color negro (el interior del círculo ) y conectando algunos otros nodos en pares con flechas de acuerdo con algunas reglas.

Historia

Los diagramas de Dynkin llevan el nombre de Evgeny Borisovich Dynkin , quien los usó en dos artículos (1946, 1947) para representar la clasificación de álgebras de Lie semisimples [9] , ver ( E. B. Dynkin 2000 ). Después de que Dynkin abandonara la Unión Soviética en 1976, lo que en ese momento se consideró una traición, los matemáticos soviéticos usaron el nombre de "diagramas de raíces simples" en lugar del apellido del autor para referirse a los diagramas.

Los gráficos no dirigidos fueron utilizados anteriormente por Coxeter (1934) para clasificar los grupos de reflexión , y en ellos los nodos correspondían a reflexiones simples. Luego, Witt usó gráficos (con información de longitud) (en 1941) en el contexto de los sistemas raíz, donde los nodos corresponden a raíces simples, como se usa hoy en día [9] [10] . Dynkin luego usó los diagramas en 1946 y 1947, agradeciendo a Coxeter y Witt en un artículo de 1947.

Acuerdos

Los diagramas de Dynkin se dibujan de muchas formas [10] . Las convenciones utilizadas en este artículo son generalmente aceptadas, con ángulos de 180° para valencia 2 nudos, ángulos de 120° para valencia 3 nudos para D n , y 90°/90°/180° valencia 3 nudos para E n , con multiplicidad indicada por 1, 2 o 3 aristas paralelas, y especificando la longitud de la raíz especificando la orientación de la arista. Además de la simplicidad, estas convenciones hacen posible mostrar automorfismos de diagramas utilizando isometrías euclidianas de diagramas.

Las convenciones alternativas incluyen especificar el número de aristas para la multiplicidad (usualmente usado en los diagramas de Coxeter), usar color para indicar la longitud de la raíz o usar ángulos de 120° para los nudos de valencia 2 para que los nudos sean más distinguibles.

También hay convenciones para la numeración de nodos. La convención generalmente aceptada fue desarrollada e ilustrada en la década de 1960 en el libro de Bourbaki [11] [10] .

Diagramas de Dynkin de rango 2

Los diagramas de Dynkin son equivalentes a las matrices de Cartan generalizadas , como se muestra en la tabla de diagramas de Dynkin de rango 2 al indicar sus correspondientes matrices de Cartan de 2 x 2 .

Para el rango 2, la matriz de Cartan es:

A=\left[{\begin{matriz}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matriz}}\right]

Un diagrama de múltiples aristas corresponde a una matriz de Cartan fuera de la diagonal con elementos -a 21 , -a 12 , donde el número de aristas del diagrama es máximo (-a 21 , -a 12 ), y la flecha se dirige hacia no singular elementos.

La matriz de Cartan generalizada es una matriz cuadrada tal que: $A=(a_{ij})$

Para elementos diagonales . $a_{ii}=2$
Para elementos fuera de la diagonal . $a_{ij}\leq 0$
$a_{ij}=0$ si y solo si $a_{ji}=0$

La matriz de Cartan determina si un grupo es de tipo finito (si es definido positivo , es decir, todos los valores propios son positivos), tipo afín (si la matriz no es definida positiva sino semidefinida positiva, es decir, todos los valores propios son no negativos ), o tipo indefinido . Un tipo indefinido a menudo se divide en subtipos, por ejemplo, un grupo de Coxeter es lorentziano si tiene un valor propio negativo y todos los demás valores son positivos. Además, algunas fuentes hablan de grupos de Coxeter hiperbólicos , pero hay varias definiciones no equivalentes para este concepto. En la discusión a continuación, se entiende que los grupos de Coxeter hiperbólicos son un caso especial de los grupos de Lorentz que satisfacen condiciones adicionales. Nótese que para el rango 2, todas las matrices de Cartan con determinante negativo corresponden a grupos hiperbólicos de Coxeter. Pero, en general, la mayoría de las matrices con determinante negativo no son ni hiperbólicas ni lorentzianas.

Las ramas finales tienen (-a 21 , -a 12 )=(1,1), (2,1), (3,1) y afines (con determinante cero) tienen (-a 21 , -a 12 ) =( 2.2 ) o (4.1).

Diagramas de Dynkin de rango 2

Nombre del grupo	Diagrama de Dynkin			matriz de Cartan		orden de simetria	Grupo de subproceso único vinculado 3
Nombre del grupo	Gráfico de varios bordes (estándar)	Gráfico con valores 1	Conde de Coxeter 2	$\left[{\begin{matriz}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matriz}}\right]$	Determinante (4-a 21 *a 12 )	orden de simetria	Grupo de subproceso único vinculado 3
Fin (Calificador>0)
A 1xA 1 _				$\left[{\begin{pequeña matriz}2&0\\0&2\end{pequeña matriz}}\right]$	cuatro	2
A 2 (unor. [nota 4] )				$\left[{\begin{pequeña matriz}2&-1\\-1&2\end{pequeña matriz}}\right]$	3	3
B2 _				$\left[{\begin{pequeña matriz}2&-2\\-1&2\end{pequeña matriz}}\right]$	2	cuatro	${A}_{3}$
C2 _				$\left[{\begin{pequeña matriz}2&-1\\-2&2\end{pequeña matriz}}\right]$	2	cuatro	${A}_{3}$
BC 2 (no org.)				$\left[{\begin{matriz pequeña}2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&2\end{matriz pequeña}}\right]$	2	cuatro
G2 _				$\left[{\begin{matriz pequeña}2&-1\\-3&2\end{matriz pequeña}}\right]$	una	6	${D}_{4}$
G 2 (unor.)				$\left[{\begin{matriz pequeña}2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&2\end{matriz pequeña}}\right]$	una	6
Afín (Determinante=0)
Un 1 (1)				$\left[{\begin{pequeña matriz}2&-2\\-2&2\end{pequeña matriz}}\right]$	0	∞	${\tilde {A}}_{3}$
un 2 (2)				$\left[{\begin{pequeña matriz}2&-1\\-4&2\end{pequeña matriz}}\right]$	0	∞	${\ tilde {D}}_{4}$
Hiperbólico (Determinante<0)
				$\left[{\begin{matriz pequeña}2&-1\\-5&2\end{matriz pequeña}}\right]$	-una	-
				$\left[{\begin{pequeña matriz}2&-2\\-3&2\end{pequeña matriz}}\right]$	-2	-
				$\left[{\begin{matriz pequeña}2&-1\\-6&2\end{matriz pequeña}}\right]$	-2	-
				$\left[{\begin{matriz pequeña}2&-1\\-7&2\end{matriz pequeña}}\right]$	-3	-
				$\left[{\begin{pequeña matriz}2&-2\\-4&2\end{pequeña matriz}}\right]$	-cuatro	-
				$\left[{\begin{matriz pequeña}2&-1\\-8&2\end{matriz pequeña}}\right]$	-cuatro	-
				$\left[{\begin{pequeña matriz}2&-3\\-3&2\end{pequeña matriz}}\right]$	-5	-
				$\left[{\begin{pequeña matriz}2&-b\\-a&2\end{pequeña matriz}}\right]$	4-ab<0	-
Nota 1 : Para grupos hiperbólicos, (a 12 *a 21 >4), no se utiliza el estilo multiarista, y los valores (a 21 , a 12 ) se especifican directamente en la arista. Por lo general, esto no se usa para grupos finitos y afines [12] . Nota 2 : Para grupos no dirigidos, los diagramas de Dynkin y los diagramas de Coxeter son equivalentes. Los bordes en ellos generalmente están etiquetados por su orden de simetría, y los bordes de orden 3 no están etiquetados. Nota 3 : Se pueden obtener muchos grupos de varios bordes a partir de grupos de un solo subproceso de mayor rango utilizando una operación de convolución adecuada .

Diagramas finitos de Dynkin

Gráficos finitos de Dynkin con nodos del 1 al 9

Rango	Grupos de mentiras clásicas				Grupos de mentiras excepcionales
Rango	${A}_{1+}$	${\ estilo de visualización {B}_ {2+))$	${\ estilo de visualización {C}_ {2+))$	${D}_{2+}$		${G}_{2}$ / ${\ estilo de visualización {F} _ {4}}$
una	un 1
2	A2 _	B2 _	C2 = B2 _	D 2 \u003d A 1 xA 1		G2 _
3	un 3	B3 _	C3 _	D3 = A3 _	E 3 \u003d A 2 xA 1
cuatro	A4 _	B4 _	C4 _	D4 _	mi 4 = un 4	F4 _
5	A5 _	B5 _	C5 _	D5 _	Mi 5 =D 5
6	A6 _	B6 _	C6 _	D6 _	mi 6
7	A7 _	B7 _	C7 _	D7 _	mi 7
ocho	un 8	B8 _	C 8	D8 _	mi 8
9	A9 _	B9 _	C9 _	D9 _
10+	..	..	..	..

Diagramas afines de Dynkin

Hay extensiones de diagramas de Dynkin, a saber, diagramas de Dynkin afines . Estos diagramas clasifican las matrices de Cartan de álgebras de Lie afines . La clasificación se realiza en el artículo de Katz [13] , la lista se da en el mismo artículo en las páginas 53-55. Los diagramas afines se denotan como o donde X es la letra del diagrama final correspondiente, y el superíndice indica la serie de diagramas afines a los que pertenece el diagrama. El primero de la serie, el más conocido, se denomina diagrama de Dynkin extendido y está marcado con una tilde (~) y, a veces, con un superíndice + signo [14] , por ejemplo, . Las series (2) y (3) se denominan diagramas afines retorcidos . $X_{l}^{(1)},X_{l}^{(2)}$ $X_{l}^{(3)},$ $X_{l}^{(1)},$ ${\tilde {A}}_{5}=A_{5}^{(1)}=A_{5}^{+}$

Consulte Dynkin Diagram Generator Archivado el 13 de diciembre de 2012 en Wayback Machine para obtener diagramas.

Un conjunto de diagramas Dynkin afines extendidos con nodos agregados (marcados en verde) ( for y for ) $n\geq 3$ $B_{n}$ $n\geq 4$ $D_{n}$	Los diagramas afines "retorcidos" están marcados (2) o (3) en superíndice. ( k es igual al número de nodos amarillos en el gráfico)

La siguiente tabla enumera todos los gráficos de Dynkin para grupos afines de hasta 10 nodos. Los gráficos de Dynkin extendidos se especifican como familias con ~ y corresponden a los gráficos finitos anteriores con un nodo agregado. Otras variantes de grafos dirigidos se dan con superíndices (2) o (3) y son pliegues de grupos de orden superior. Están incluidos en la categoría Diagramas afines retorcidos [15] .

Gráficos de Dynkin afines conectados con 2 a 10 nodos
(agrupados como gráficos no dirigidos)

Rango	${\tilde {A}}_{1+}$	${\tilde {B}}_{3+}$	${\tilde {C}}_{2+}$	${\tilde {D}}_{4+}$	E/F/G
2	${\ tilde {A}}_{1}$ o ${\ estilo de visualización {A}_{1}^{(1)))$		${\ estilo de visualización {A}_{2}^{(2)))$ :
3	${\ tilde {A}}_{2}$ o (ver) Archivado el 10 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ estilo de visualización {A}_{2}^{(1)))$		${\ tilde {C}}_{2}$ o (ver) Archivado el 10 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ estilo de visualización {C}_{2}^{(1)))$ ${\ estilo de visualización {D}_{5}^{(2)))$ : ${\ estilo de visualización {A}_{4}^{(2)))$ :		${\ tilde {G}}_{2}$ o (ver) Archivado el 30 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ estilo de visualización {G}_{2}^{(1)))$ ${\ estilo de visualización {D}_{4}^{(3)))$
cuatro	${\tilde {A}}_{3}$ o (ver) Archivado el 30 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ estilo de visualización {A}_{3}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{3}$ o (ver) Archivado el 10 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ estilo de visualización {B}_{3}^{(1)))$ ${\ estilo de visualización {A}_{5}^{(2)))$ :	${\ tilde {C}}_{3}$ o (ver) Archivado el 30 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ estilo de visualización {C}_{3}^{(1)))$ ${\ estilo de visualización {D}_{6}^{(2)))$ : ${\ estilo de visualización {A}_{6}^{(2)))$ :
5	${\ tilde {A}}_{4}$ o (ver) Archivado el 30 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ estilo de visualización {A}_{4}^{(1)))$	${\ tilde {B}}_{4}$ o (ver) Archivado el 10 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ estilo de visualización {B}_{4}^{(1)))$ ${\ estilo de visualización {A}_{7}^{(2)))$ :	${\ tilde {C}}_{4}$ o (ver) Archivado el 30 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ estilo de visualización {C}_{4}^{(1)))$ ${\ estilo de visualización {D}_{7}^{(2)))$ : ${\ estilo de visualización {A}_{8}^{(2)))$ :	${\ tilde {D}}_{4}$ o (ver) Archivado el 30 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ estilo de visualización {D}_{4}^{(1)))$	${\ tilde {F}}_{4}$ o (ver) ${\ estilo de visualización {F}_{4}^{(1)))$ ${\ estilo de visualización {E}_{6}^{(2)))$
6	${\tilde {A}}_{5}$ o (ver) Archivado el 11 de octubre de 2016 en Wayback Machine . ${\ estilo de visualización {A}_{5}^{(1)))$	${\ tilde {B}}_{5}$ o (ver) Archivado el 30 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ estilo de visualización {B}_{5}^{(1)))$ ${\ estilo de visualización {A}_{9}^{(2)))$ :	${\ tilde {C}}_{5}$ o (ver) Archivado el 10 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ estilo de visualización {C}_{5}^{(1)))$ ${\ estilo de visualización {D}_{8}^{(2)))$ : ${\ estilo de visualización {A}_{10}^{(2)))$ :	${\tilde {D}}_{5}$ o (ver) Archivado el 30 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ estilo de visualización {D}_{5}^{(1)))$
7	${\tilde {A}}_{6}$ o (ver) Archivado el 15 de julio de 2015 en Wayback Machine . ${\ estilo de visualización {A}_{6}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{6}$ o ${\ estilo de visualización {B}_{6}^{(1)))$ ${\ estilo de visualización {A}_{11}^{(2)))$ :	${\ tilde {C}}_{6}$ o ${\ estilo de visualización {C}_{6}^{(1)))$ ${\ estilo de visualización {D}_{9}^{(2)))$ : ${\ estilo de visualización {A}_{12}^{(2)))$ :	${\tilde {D}}_{6}$ o ${\ estilo de visualización {D}_{6}^{(1)))$	${\ tilde {E}}_{6}$ o ${\ estilo de visualización {E}_{6}^{(1)))$
ocho	${\tilde {A}}_{7}$ o (ver) Archivado el 30 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ estilo de visualización {A}_{7}^{(1)))$	${\ tilde {B}}_{7}$ o (ver) Archivado el 10 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ estilo de visualización {B}_{7}^{(1)))$ ${\ estilo de visualización {A}_{13}^{(2)))$ :	${\ tilde {C}}_{7}$ o ${\ estilo de visualización {C}_{7}^{(1)))$ ${\ estilo de visualización {D}_{10}^{(2)}}$ : ${\ estilo de visualización {A}_{14}^{(2)))$ :	${\ tilde {D}}_{7}$ o (ver) Archivado el 30 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ estilo de visualización {D}_{7}^{(1)))$	${\ tilde {E}}_{7}$ o ${\ estilo de visualización {E}_{7}^{(1)))$
9	${\ tilde {A}}_{8}$ o (ver) Archivado el 10 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ estilo de visualización {A}_{8}^{(1)))$	${\ tilde {B}}_{8}$ o ${\ estilo de visualización {B}_{8}^{(1)))$ ${\ estilo de visualización {A}_{15}^{(2)))$ :	${\ tilde {C}}_{8}$ o ${\ estilo de visualización {C}_{8}^{(1)))$ ${\ estilo de visualización {D}_{11}^{(2)))$ : ${\ estilo de visualización {A}_{16}^{(2)))$ :	${\ tilde {D}}_{8}$ o ${\ estilo de visualización {D}_{8}^{(1)))$	${\ tilde {E}}_{8}$ o ${\ estilo de visualización {E}_{8}^{(1)))$
diez	${\tilde {A}}_{9}$ o (ver) Archivado el 10 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ estilo de visualización {A}_{9}^{(1)))$	${\tilde {B}}_{9}$ o ${\ estilo de visualización {B}_{9}^{(1)))$ ${\ estilo de visualización {A}_{17}^{(2)))$ :	${\ tilde {C}}_{9}$ o ${\ estilo de visualización {C}_{9}^{(1)))$ ${\ estilo de visualización {D}_{12}^{(2)))$ : ${\ estilo de visualización {A}_{18}^{(2)))$ :	${\tilde {D}}_{9}$ o ${\ estilo de visualización {D}_{9}^{(1)))$
once	…	…	…	…

Diagramas hiperbólicos de Dynkin y niveles superiores

El conjunto de gráficos de Dynkin hiperbólicos compactos y no compactos se enumeró en el artículo de Carbone et al.. [16] Todos los gráficos hiperbólicos de rango 3 son compactos. Los diagramas de Dynkin hiperbólicos compactos existen hasta el rango 5, mientras que los gráficos hiperbólicos no compactos existen hasta el rango 10.

Número de gráficos

Rango	Compacto	no compacto	Total
3	31	93	123
cuatro	3	cincuenta	53
5	una	21	22
6	0	22	22
7	0	cuatro	cuatro
ocho	0	5	5
9	0	5	5
diez	0	cuatro	cuatro

Diagramas de Dynkin hiperbólicos compactos

Gráficos hiperbólicos compactos

Rango 3		Rango 4	Rango 5
gráficos lineales (6 4 2): H 100 (3) : H101 (3 ) : H105 ( 3) : H106 (3 ) : (6 6 2): 114 (3 ) : 115 (3 ) : H116 (3 ) :	gráficos cíclicos (4 3 3): H 1 (3) : (4 4 3): 3 formas… (4 4 4): 2 formas… (6 3 3): H 3 (3) : (6 4 3): 4 formas… (6 4 4): 4 formas… (6 6 3): 3 formas… (6 6 4): 4 formas… (6 6 6): 2 formas…	(4 3 3 3): H 8 (4) : H 13 (4) : (4 3 4 3): H 14 (4) :	(4 3 3 3 3): H 7 (5) :

No compacto (formas esencialmente extendidas)

Algunas notaciones utilizadas en física teórica , en áreas como la teoría M , usan el superíndice "+" para grupos extendidos en lugar de "~", lo que permite definir extensiones de grupo más fuertes.

Los diagramas de Dynkin extendidos (afines) reciben el índice "+" y tienen un nodo adicional. (Igual que "~")
Los diagramas de Dynkin significativamente extendidos (hiperbólicos) reciben el índice "^" o "++" y tienen dos nodos adicionales.
Los diagramas de Dynkin fuertemente extendidos con 3 nodos adicionales reciben el índice "+++".

Algunos ejemplos de diagramas de Dynkin significativamente extendidos (hiperbólicos)

Rango	${AE}_{n}$ = A n-2 (1)^	${BE}_{n}$ = Bn-2 (1)^ ${CE}_{n}$	Cn -2 (1)^	${ES}_{n}$ = D n-2 (1)^	E/F/G
3	${\ estilo de visualización {AE}_ {3}}$ :
cuatro	${\ estilo de visualización {AE}_ {4}}$ :		2 ( 1 )^ Un 4 (2)'^ A4 ( 2 )^ D 3 (2)^		G2 ( 1 )^ D4 ( 3 )^
5	${\ estilo de visualización {AE}_ {5}}$ :	${BE}_{5}$ ${CE}_{5}$	3 ( 1 )^ A6 ( 2 )^ Un 6 (2)'^ D 5 (2)^
6	${AE}_{6}$	${BE}_{6}$ ${CE}_{6}$	C4 ( 1 )^ A8 ( 2 )^ Un 8 (2)'^ D7 ( 2 )^	${DE}_{6}$	F4 ( 1 )^ E6 ( 2 )^
7	${\ estilo de visualización {AE}_ {7}}$	${BE}_{7}$ ${CE}_{7}$		${DE}_{7}$
ocho	${AE}_{8}$	${BE}_{8}$ ${CE}_{8}$		${DE}_{8}$	Mi 6 (1)^
9	${AE}_{9}$	${BE}_{9}$ ${CE}_{9}$		${DE}_{9}$	E7 ( 1 )^
diez		${BE}_{10}$ ${CE}_{10}$		${ES}_{10}$	${\ estilo de visualización {E}_ {10}}$ =E 8 (1)^

238 grupos hiperbólicos (compactos y no compactos)

Los 238 grupos hiperbólicos enumerados (compactos y no compactos) se denotan como H i (n) para el rango n, y tienen un índice i=1,2,3… para cada rango.

Diagramas muy extendidos

Los grupos fuertemente extendidos son los grupos de Lorentz , que se definen sumando tres nodos a los grupos finitos. E 8 , E 7 , E 6 , F 4 y G 2 dan seis series que terminan en grupos fuertemente expandidos. Otras series extendidas que no se muestran pueden determinarse a partir de A n , B n , C n y D n como series diferentes para cada n . El determinante de la matriz de Cartan asociada determina dónde cambia la serie de finito (determinante positivo) a afín (determinante cero) a un grupo hiperbólico no compacto (determinante negativo) y termina la serie como un grupo de Lorentz, que puede determinarse mediante la aparición de una dimensión similar al tiempo [17] .

Serie extendida de rango 2

último	$A_{2}$	$C_{2}$	$G_{2}$
2	A2 _	C2 _	G2 _
3	A 2 + = (ver) Archivado el 10 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ tilde {A}}_{2}$	C 2 + = (ver) Archivado el 10 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ tilde {C}}_{2}$	G 2 + = (ver) Archivado el 30 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ tilde {G}}_{2}$
cuatro	A 2 ++ (ver) Archivado el 13 de julio de 2015 en Wayback Machine .	C 2 ++ (ver) Archivado el 11 de octubre de 2016 en Wayback Machine .	G 2 ++ (ver) Archivado el 13 de julio de 2015 en Wayback Machine .
5	A 2 +++ (ver) Archivado el 14 de julio de 2015 en Wayback Machine .	C 2 +++ (ver) Archivado el 11 de octubre de 2016 en Wayback Machine .	G 2 +++ (ver) Archivado el 14 de julio de 2015 en Wayback Machine .
Det(M n )	3(3- n )	2(3- n )	3- n

Serie Extendida Rangos 3 y 4

último	$A_{3}$	$B_{3}$	$C_{3}$	$A_{4}$	$B_{4}$	$C_{4}$	$D_{4}$	$F_{4}$
2		un 1 2						A2 _
3	un 3	B3 _	C3 _		B 2 A 1		un 1 3
cuatro	Un 3 + = ${\tilde {A}}_{3}$	B3 + = _ ${\tilde {B}}_{3}$	C3 + = _ ${\ tilde {C}}_{3}$	A4 _	B4 _	C4 _	D4 _	F4 _
5	A3 ++ _	B3 ++ _	C3 ++ _	A4 + = _ ${\ tilde {A}}_{4}$	B4 + = _ ${\ tilde {B}}_{4}$	C4 + = _ ${\ tilde {C}}_{4}$	D4 + = _ ${\ tilde {D}}_{4}$	F4 + = _ ${\ tilde {F}}_{4}$
6	Un 3 +++	B3 +++ _	C3 +++ _	A4 ++ _	B4 ++ _	C4 ++ _	D4 ++ _	F4 ++ _
7				A4 +++ _	B4 +++ _	C4 +++ _	D4 +++ _	F4 +++ _
Det(M n )	4(4- n )	2(4- n )		5(5- n )	2(5- n )		4(5- n )	5- n

Serie extendida de rangos 5 y 6

último	$A_{5}$	$B_{5}$	$D_{5}$	$A_{6}$	$B_{6}$	$D_{6}$	$E_{6}$
cuatro		B 3 A 1	Un 3 Un 1				un 2 2
5	A5 _		D5 _		B 4 A 1	D 4 A 1	A5 _
6	A5 + = _ ${\tilde {A}}_{5}$	B5 + = _ ${\ tilde {B}}_{5}$	D5 + = _ ${\tilde {D}}_{5}$	A6 _	B6 _	D6 _	mi 6
7	A5 ++ _	B5 ++ _	D5 ++ _	A6 + = _ ${\tilde {A}}_{6}$	B6 + = _ ${\tilde {B}}_{6}$	D6 + = _ ${\tilde {D}}_{6}$	mi 6 + = ${\ tilde {E}}_{6}$
ocho	A5 +++ _	B5 +++ _	D5 +++ _	A6 ++ _	B6 ++ _	D6 ++ _	E6 ++ _
9				A6 +++ _	B6 +++ _	D6 +++ _	Mi 6 +++
Det(M n )	6(6- n )	2(6- n )	4(6- n )	7(7- n )	2(7- n )	4(7- n )	3(7- n )

Algunas series extendidas de rango 7 y superior

último	A7 _	B7 _	D7 _	mi 7	mi 8
3					mi 3 \u003d un 2 un 1
cuatro				Un 3 Un 1	mi 4 = un 4
5				A5 _	Mi 5 =D 5
6		B 5 A 1	D 5 A 1	D6 _	E 6 (ver) Archivado el 30 de junio de 2015 en Wayback Machine .
7	A7 _	B7 _	D7 _	E 7 (ver) Archivado el 30 de junio de 2015 en Wayback Machine .	E 7 (ver) Archivado el 30 de junio de 2015 en Wayback Machine .
ocho	A 7 + = (ver) Archivado el 30 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\tilde {A}}_{7}$	B 7 + = (ver) Archivado el 10 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ tilde {B}}_{7}$	D 7 + = (ver) Archivado el 30 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ tilde {D}}_{7}$	E 7 + = (ver) Archivado el 10 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ tilde {E}}_{7}$	E 8 (ver) Archivado el 10 de junio de 2015 en Wayback Machine .
9	A 7 ++ (ver) Archivado el 13 de julio de 2015 en Wayback Machine .	B 7 ++ (ver) Archivado el 10 de junio de 2015 en Wayback Machine .	D 7 ++ (ver) Archivado el 13 de julio de 2015 en Wayback Machine .	E 7 ++ (ver) Archivado el 13 de julio de 2015 en Wayback Machine .	E 9 =E 8 + = (ver) Archivado el 10 de junio de 2015 en Wayback Machine . ${\ tilde {E}}_{8}$
diez	A 7 +++ (ver) Archivado el 10 de junio de 2015 en Wayback Machine .	B 7 +++ (ver) Archivado el 10 de junio de 2015 en Wayback Machine .	D 7 +++ (ver) Archivado el 10 de junio de 2015 en Wayback Machine .	E 7 +++ (ver) Archivado el 10 de junio de 2015 en Wayback Machine .	E 10 =E 8 ++ (ver) Archivado el 30 de junio de 2015 en Wayback Machine .
once					E 11 =E 8 +++ (ver) Archivado el 12 de noviembre de 2014 en Wayback Machine .
Det(M n )	8(8- n )	2(8- n )	4(8- n )	2(8- n )	9- n

Véase también

Diagramas Satake

Notas

Comentarios

↑ En esta sección, hablamos de "diagramas de Coxeter" y no de "diagramas de Coxeter-Dynkin" por brevedad y para distinguir entre conceptos, ya que existe la posibilidad de confusión.
↑ la conjugación de la matriz g con la ayuda de la matriz a es una matriz como la matriz a −1 ga
↑ Tenga en cuenta que el vidriero usa flechas, en contra de las convenciones utilizadas en este artículo.
↑ diagrama no dirigido

Fuentes

↑ Fulton y Harris, 1991 , pág. Proposición D.40.
↑ 1 2 3 Jacobson, 1971 , pág. sección 7.
↑ Humphreys, 1972 , pág. Sección 16.5.
↑ Geometría algebraica y teoría de números: en honor al 50 cumpleaños de Vladimir Drinfeld, editado por Victor Ginzburg, p. 47, sección 3.6: Plegado en racimo Archivado el 16 de abril de 2021 en Wayback Machine .
↑ 1 2 Folding by Automorphisms Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine , John Stembridge, 4 páginas, 79 K, 20 de agosto de 2008, Otros artículos de John Stembridge Archivado el 11 de enero de 2016 en Wayback Machine .
↑ Ver ( Stekolshchik 2008 , p. 102 , comentario 5.4) para una ilustración de tales pliegues y referencias.
↑ Jean-Bernard Zuber. Diagramas de Dynkin generalizados y sistemas de raíces y su plegamiento // CiteSeer. — P. 28–30 .
↑ 1 2 Transformaciones de los diagramas de Dynkin Archivado el 10 de marzo de 2016 en Wayback Machine , John Armstrong, 5 de marzo de 2010
↑ 12 Knapp , 2002 , pág. 758.
↑ 1 2 3 ¿Por qué los diagramas de Dynkin E6, E7 y E8 siempre se dibujan de esta manera? . Consultado el 14 de octubre de 2015. Archivado desde el original el 11 de septiembre de 2015. (indefinido)
↑ Bourbaki, 1968 .
↑ Notas sobre las Transformaciones de Coxeter y la correspondencia de McKay , Rafael Stekolshchik, 2005, Sección 2.1 La matriz de Cartan y su forma de Tetas p. 27. [1] Archivado el 1 de marzo de 2020 en Wayback Machine .
↑ Kac, 1994 , pág. 47-55.
↑ Ver, por ejemplo, Grupos de reflexión y grupos de Coxeter, por James E. Humphreys, p. 96 Archivado el 16 de abril de 2021 en Wayback Machine .
↑ Kac, 1994 , pág. 53.
↑ L Carbone, S Chung, C Cobbs, R McRae, D Nandi, Y Naqvi, D Penta. Clasificación de diagramas de Dynkin hiperbólicos, longitudes de raíces y órbitas de grupos de Weyl // J. Phys. R: Matemáticas. teor. - 2010. - Edición. 43 .
↑ La simetría de las teorías M Archivado el 18 de enero de 2017 en Wayback Machine , Francois Englert, Laurent Houart , Anne Taormina y Peter West, 2003

Literatura

EB Dynkin. Estructura de álgebras de Lie semisimples. // UMN. - 1947. - Vol. 2 , núm. 4(20) . — págs. 59–127 .
Nicolás Bourbaki. Capítulos 4–6 // Groupes et algebres de Lie. — París: Hermann, 1968.
Nathan Jacobson. Álgebras de mentiras excepcionales. - CRC Press, 1971. - ISBN 0-8247-1326-5 .
James E. Humphreys. Introducción a las Álgebras de Lie y la Teoría de la Representación. - Birkhäuser, 1972. - ISBN 978-0-387-90053-7 .
William Fulton , Joe Harris . teoría de la representación. Un primer plato. - Nueva York: Springer-Verlag , 1991. - V. 129. - (Textos de posgrado en Matemáticas, Lecturas en Matemáticas). - ISBN 978-0-387-97495-8 , 978-0-387-97527-6.
Evgeniĭ Borisovich Dynkin, Alexander Adolph Yushkevich, Gary M. Seitz, AL Onishchik. Documentos seleccionados de EB Dynkin con comentarios. - Librería AMS, 2000. - ISBN 978-0-8218-1065-1 .
Anthony W. Knapp. Lie grupos más allá de una introducción. — 2do. - Birkhäuser, 2002. - ISBN 978-0-8176-4259-4 .
R. Stekolshchik. Notas sobre las transformaciones de Coxeter y la correspondencia de McKay. - 2008. - (Monografías de Springer en Matemáticas). — ISBN 978-3-540-77398-6 . -doi : 10.1007 / 978-3-540-77398-3 .
Víctor G. Kac. Álgebras de mentira de dimensión infinita. - Prensa de la Universidad de Cambridge, 1994. - ISBN 0-521-37215-1 , 0-521-46693-8.

Enlaces

Klassifikation von Wurzelsystemen (Clasificación de sistemas raíz, Wikilibros en alemán)
Diagrama de Dynkin en Encyclopaedia of Mathematics Archivado el 26 de junio de 2015 en Wayback Machine .
John Baez sobre la ubicuidad de los diagramas de Dynkin en matemáticas . Archivado el 14 de noviembre de 2015 en Wayback Machine .
Herramienta web para hacer diagramas de Dynkin con calidad de publicación con etiquetas (escritos en JavaScript) Archivado el 13 de diciembre de 2012 en Wayback Machine .