Casi polígono

Un casi polígono es una geometría de incidencia propuesta por Ernest E. Schult y Artur Januszka en 1980 [1] . Schult y Januszka mostraron la conexión entre los llamados sistemas cerrados tetraédricos de líneas en espacios euclidianos y una clase de geometrías punto/línea , a las que llamaron casi polígonos. Estas estructuras generalizan la notación poligonal generalizada , ya que cualquier 2n-gon generalizado es casi un 2n - gon de algún tipo. Los polígonos cercanos se estudiaron intensamente y la conexión entre ellos y los espacios polares duales [2] se demostró en la década de 1980 y principios de la de 1990. Algunos grupos simples esporádicos , como el grupo de Hall-Janko y los grupos de Mathieu , actúan como grupos de automorfismo en casi polígonos.

Definiciones

Casi 2 d -gons son la estructura de incidencia ( ), donde es el conjunto de puntos, es el conjunto de rectas, y es la relación de incidencia , tal que: ${\ Displaystyle P, L, I}$ $PAGS$ $L$ $I\subseteq P\times L$

La distancia máxima entre dos puntos (llamada diámetro) es d .
Para cualquier punto y cualquier línea , hay un solo punto en , que es el más cercano a . $X$ $L$ $L$ $X$

Tenga en cuenta que la distancia se mide en términos de un gráfico de puntos colineales , es decir un gráfico formado a partir de puntos como vértices, y un par de vértices está conectado por una arista si son incidentes en la misma línea. También podemos dar una definición alternativa en términos de teoría de grafos . Un casi 2d -gon es un grafo conexo de diámetro finito d con la propiedad de que para cualquier vértice x y cualquier camarilla máxima M existe un único vértice x' en M que es el más cercano a x . La camarilla máxima de dicho gráfico corresponde a las líneas en la definición de la estructura de incidencia. Un casi 0-gon ( d = 0) es un solo punto, mientras que un casi 2-gon ( d = 1) es solo una línea, es decir gráfico completo. Un casi cuadrado ( d = 2) es lo mismo que un cuadrilátero generalizado (posiblemente degenerado) . Se puede demostrar que cualquier 2d - gon generalizado es casi un 2d -gon que satisface dos condiciones adicionales:

Cualquier punto es incidente con al menos dos líneas.
Para dos puntos cualesquiera x , y a la distancia i < d , existe un único punto vecino para y a la distancia i − 1 de x .

Se dice que un casi polígono es denso si cualquier línea incide en al menos tres puntos y si dos puntos a una distancia de dos tienen al menos dos puntos vecinos comunes. Se dice que un polígono es de orden ( s , t ) si cualquier línea es incidente exactamente en s + 1 puntos y cualquier punto es incidente en exactamente t + 1 líneas. Los casi polígonos densos tienen una teoría rica y algunas de sus clases (como los casi polígonos densos delgados) están completamente clasificadas [3] .

Se dice que un subespacio X de un espacio P es convexo si cualquier punto en el camino más corto entre dos puntos desde X también está contenido en X [4] .

Ejemplos

Todos los gráficos bipartitos conectados son casi polígonos. De hecho, cualquier polígono cercano que tenga exactamente dos puntos por línea debe ser un gráfico bipartito conectado.
Todos los polígonos generalizados finitos excepto los planos proyectivos.
Todos los espacios polares duales .
El casi octógono de Hall-Janko, también conocido como el casi octógono de Cohen-Tetits [ 5] , está relacionado con el grupo de Hall-Janko . Se puede construir eligiendo la clase de conjugación de 315 involuciones centrales del grupo Hall-Yanko como puntos y los subconjuntos de tres elementos {x,y,xy} como líneas si x e y conmutan.
Casi el polígono M 24 asociado con el grupo Mathieu M 24 y el código binario extendido de Golay . El octágono se construye a partir de 759 octadas (bloques) del esquema de Witt S(5, 8, 24) correspondientes a los códigos de Golay como puntos y ternas de tres ochos por pares que no se cortan como líneas rectas [6]
Tomemos una partición del conjunto {1, 2,..., 2n+2} en n + 1 subconjuntos de 2 elementos como puntos y n - 1 [7] subconjuntos de dos elementos y un subconjunto de 4 elementos como líneas. Un punto es incidente a una línea si y sólo si (como partición) es un refinamiento de la línea. Esto nos da un 2n-ágono con tres puntos en cada línea, generalmente denotados como H n . El grupo completo de automorfismos de este casi polígono es S 2n+2 [8] .

Casi polígonos regulares

Un semiágono S finito se llama regular si tiene un orden y si existen constantes tales que para dos puntos cualesquiera ya una distancia, hay exactamente líneas que lo atraviesan y contienen (necesariamente en singular) puntos a una distancia de . Resulta que los casi -ágonos regulares son exactamente aquellos casi - ágonos cuyos gráficos de puntos son gráficos de distancia regulares . Un order-gon generalizado es un casi-gon regular con parámetros $2d$ ${\ estilo de visualización (s, t)}$ ${\displaystyle t_{i},i\in \{1,\ldots,d\))$ $X$ $y$ $i$ $t_{i}+1$ $y$ ${\ estilo de visualización i-1}$ $X$ $2d$ $2d$ $2d$ ${\ estilo de visualización (s, t)}$ $2d$ $t_{1}=0,t_{2}=0,\ldots,t_{d}=t$

Véase también

geometría final
Espacio polar
Espacio parcialmente lineal
esquema de relación
Conde Hall - Janko

Notas

↑ Shult, Yanushka, 1980 .
↑ Cameron, 1982 , pág. 75-85.
↑ De Bruyn, 2006 .
↑ De Bruyn, 2013 , pág. 1313.
↑ El octágono cercano en 315 puntos . Consultado el 21 de agosto de 2017. Archivado desde el original el 29 de julio de 2021. (indefinido)
↑ Copia archivada . Consultado el 21 de agosto de 2017. Archivado desde el original el 31 de agosto de 2021. (indefinido)
↑ En la versión en inglés del artículo es n , pero en el artículo de de Bruijn es n -1.
↑ De Bruyn, 2013 .

Literatura

Brouwer AE, Cohen AM, Wilbrink HA, Hall JJ Polígonos cercanos y espacios de Fischer // Geom. Dedicada. - 1994. - T. 49 . — S. 349–368 . -doi : 10.1007/ BF01264034 .
Brouwer AE, Cohen AM Distancia Gráficos regulares. - Berlín, Nueva York: Springer-Verlag., 1989. - ISBN 3-540-50619-5 .
Cameron Peter J. Espacios polares duales // Geom. Dedicada. - 1982. - T. 12 . — S. 75–85 . -doi : 10.1007/ bf00147332 .
Cameron Peter J. Espacios proyectivos y polares . - Escuela de Ciencias Matemáticas Queen Mary and Westfield College, 1991. - V. 13. - (QMW Maths Notes).
De Bruyn Bart. Cerca de polígonos. - Birkhäuser Verlag, 2006. - ISBN 3-7643-7552-3 . -doi : 10.1007 / 978-3-7643-7553-9 .
De Clerck F., Van Maldeghem H. Algunas clases de geometrías de rango 2 // Manual de geometría de incidencia. - Ámsterdam: Holanda Septentrional, 1995. - S. 433-475.
Shult Ernest E. Puntos y Líneas. - Springer, 2011. - (Universitex). — ISBN 978-3-642-15626-7 . -doi : 10.1007 / 978-3-642-15627-4 .
Shult Ernest, Yanushka Arthur. Near n-gons and line systems // Geom. Dedicada. - 1980. - T. 9 . — Pág. 1–72 . -doi : 10.1007/ BF00156473 .
De Bruyn Bart. Incrustaciones isométricas de los polígonos cercanos H n y G n en espacios dualpolares // Matemáticas discretas / Douglas B. West. - 2013. - Edición. 313 . - S. 1313-1321 . — ISSN 0012-365X .