Número recíproco

El recíproco de un número dado x es el número cuya multiplicación por x da uno . Entrada aceptada: o . Dos números cuyo producto es 1 se llaman recíprocos . El recíproco de un número no debe confundirse con el recíproco de una función. Por ejemplo, difiere del valor de la función inversa al coseno - arcocoseno , que se denota o . ${\ fracción {1} x}$ $x^{{-1}}$ ${\frac{1}{\cos {x}}}$ $\cos ^{{-1}}x$ $\ arccos x$

Inverso al número real

Para cualquier número real (o complejo ) distinto de cero , existe un número que es su inverso. El recíproco de un número real se puede dar como una fracción o una potencia con el exponente -1 . Pero, como regla, se usa la notación a través de una fracción.

Número	Reverso
Número	Fracción	La licenciatura
$norte$	${\ fracción {1}{n}}$	$n^{{-1}}$

eso es $\ {\ fracción {1}{n}}=n^{{-1}}$

Ejemplos
Número	$3$	${\frac{1}{10))$	$-{\frac{2}{7))$	$2\pi$	$2$	$-0.125$	$una$	$\sqrt{3}$	$e^{{{\frac{\pi}{4))))$	$10^{{23}}$
Reverso	${\frac{1}{3))$	$diez$	$-{\frac {7}{2}}$	${\frac{1}{2\pi ))$	$0.5$	$-ocho$	$una$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$e^{{-{\frac{\pi}{4))))$	$10^{{-23}}$

No confunda los términos "número recíproco" y " número opuesto ". Se dice que dos números son opuestos si su suma es cero. Por ejemplo, el número opuesto a 3 es −3 y el recíproco es 1/3.

Inversa a cero

En la aritmética, que opera con números reales (o complejos), no existe el concepto de infinito (no existe el número "infinito"). Por lo tanto, se considera que es imposible dividir por cero . Entonces el cero no tiene recíproco. Pero, desde la introducción del límite de transición (en el análisis matemático ), han aparecido conceptos tales como cantidades infinitesimales e infinitamente grandes que son mutuamente inversas.

Usando el paso al límite, obtenemos:

Límite derecho: _ o _ $\lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[ {x{\xrightarrow {}}+0}]{}}\ {+\infty }$
Límite izquierdo: _ o _ $\lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[ {x{\xrightarrow {}}-0}]{}}\ {-\infty }$

Así, el recíproco de cero, dependiendo de qué lado se busque, es formalmente infinito con el signo "+" o "-" . Sin embargo, tal definición de inverso a cero no tiene sentido: la introducción pierde distributividad, lo que se manifiesta, en particular, cuando el límite del cuadrado inverso también es "igual" a infinito, pero al dividir el límite anterior por este, da la respuesta 0, no 1.

$\lim_{{x\to +0}}{\frac {1}{x^{2}}}={+\infty}$

Pero $\lim _{{x\to +0}}{\frac {{\frac {1}{x}}}{{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{{ x\to +0}}{\frac{x^{2}}{x}}=0$

Inverso a número complejo

Los inversos de los números complejos parecen algo más complicados que los inversos de los reales. Hay tres formas de un número complejo: algebraico , trigonométrico y exponencial .

Formas de números complejos	Número $(z)$	Inversa [1] $\left({\frac{1}{z}}\right)$
Algebraico	$x+iy$	${\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$
trigonométrico	$r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$	${\frac{1}{r}}(\cos \varphi -i\sin \varphi )$
Demostración	$re^{{i\varphi}}$	${\frac{1}{r}}e^{{-i\varfi}}$

Designación y prueba

Designacion

$z\in {\matemáticas {C}}$ (número complejo), (parte real de un número complejo), (parte imaginaria de un número complejo), - unidad imaginaria , (módulo de un número complejo), (argumento de un número complejo), - base del logaritmo natural .
$x=\nombre del operador {Re} (z)\in \mathbb {R}$
$y=\nombre del operador {Im} (z)\in \mathbb {R}$
$i$
$r=|z|={\raíz cuadrada {x^{2}+y^{2}}}$
$\varphi =\nombre del operador {arg} z=\nombre del operador {arctg} {\frac {y}{x))$
$mi$

Prueba:
Para formas algebraicas y trigonométricas, usamos la propiedad básica de una fracción , multiplicando el numerador y el denominador por el complejo conjugado :

Forma algebraica:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{x+iy}}={\frac {x-iy}{(x+iy)(x-iy)))={\frac { x-iy}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^ {2}+y^{2}}}$

Forma trigonométrica:

${\frac {1}{z))={\frac {1}{r(\cos \varphi +i\sin \varphi )))={\frac {1}{r)){\frac {\cos \varphi -i\sin \varphi }{(\cos \varphi +i\sin \varphi )(\cos \varphi -i\sin \varphi )))={\frac {1}{r)){\frac {\cos \varphi -i\sin \varphi }{\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi }}={\frac {1}{r}}(\cos \varphi -i \sin\varphi)$

forma indicativa:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{re^{{i\varphi}}}}={\frac {1}{r}}e^{{-i\varphi}}$

Así, a la hora de encontrar el inverso de un número complejo, es más conveniente utilizar su forma exponencial.

Ejemplo:

Formas de números complejos	Número $(z)$	Inversa [1] $\left({\frac{1}{z}}\right)$
Algebraico	$1+i{\raíz cuadrada {3}}$	${\frac {1}{4}}-{\frac {{\sqrt {3}}}{4}}i$
trigonométrico	$2\izquierda(\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}}\derecha)$ o [2] $2\izquierda({\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\derecha)$	${\frac {1}{2}}\left(\cos {\frac {\pi }{3}}-i\sin {\frac {\pi }{3}}\right)$ o [2] ${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\right)$
Demostración	$2e^{{i{\frac{\pi}{3))))$	${\frac{1}{2}}e^{{-i{\frac {\pi}{3))))$

Inversa a la unidad imaginaria

Solo hay dos números ( complejos conjugados ) cuyos recíprocos y opuestos son iguales. esto es $\pm yo$

Número	Igualdad de inverso y opuesto
Número	Escribiendo el inverso a través de una fracción	Escribiendo el reverso a través del grado
$i$	${\frac{1}{i}}=-i$	$yo^{{-1}}=-yo$
$-i$	$-{\frac{1}{i}}=i$	$-i^{{-1}}=i$

Prueba

Demostremos la prueba de (de manera similar). Usamos la propiedad principal de la fracción : Por lo tanto, obtenemos __ o __ De manera similar para : __ __ o __ $i$ $-i$

${\frac {1}{i}}={\frac {1\cdot i}{i\cdot i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{ -1}}=-yo$

${\frac{1}{i}}=-i$ $yo^{{-1}}=-yo$

$-i$ $-{\frac{1}{i}}=i$ $-i^{{-1}}=i$

Notas