Inversión de la integral de Laplace

Deje que la función de una variable compleja satisfaga las siguientes condiciones: $F$ ${\ estilo de visualización p = x + iy}$

$F$ — analítico en el campo $\mahop {\mathrm {Re} } \,p>a$
en la región de manera uniforme en relación con $\mahop {\mathrm {Re} } \,p>a$ ${\ estilo de visualización F \ a 0}$ $|p|\to +\infty$ ${\ estilo de visualización \ arg p}$
la integral converge para todo $\mahop {\mathrm {Re} } \,p>a$ $\int \limits _{xi\infty}^{x+i\infty}\!|F(p)|\,dy$

Entonces la función para es la imagen de la función de la variable real , que se puede encontrar por la fórmula $F$ $\mahop {\mathrm {Re} } \,p>a$ $F$ $t$

f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{xi\infty }^{x+i\infty }\!e^{pt}F(p) \,dp,\quad x>a

Esta fórmula se llama fórmula de Mellin, y la integral se llama integral de Mellin (llamada así por el matemático finlandés Hjalmar Mellin ). En muchos casos, la integral de Mellin se puede calcular usando residuos . Es decir, si una función definida en el dominio puede extenderse analíticamente a todo el plano de una variable compleja con un número finito de puntos singulares y su continuación analítica satisface las condiciones del lema de Jordan , entonces $F$ $\mahop {\mathrm {Re} } \,p>a$ ${\displaystyle p_{1},p_{2},\puntos,p_{n))$ $\mahop {\mathrm {Re} } \,p<a$

f(t)=\sum_{k=1}^{n}\mahop {\mathrm {res} }_{p=p_{k))(e^{pt}F(p))

Véase también

Primer teorema de descomposición
Segundo teorema de descomposición