Característica (análisis complejo)
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 26 de noviembre de 2020; la verificación requiere 1 edición .Una singularidad o punto singular de una función holomorfa f es un punto en el plano complejo en el que esta función no está definida, su límite es infinito o no tiene ningún límite.
Para funciones analíticas multivaluadas , los puntos de bifurcación también se consideran singularidades .
Son posibles dos clasificaciones de puntos singulares. En primer lugar, es admisible una clasificación según las propiedades de la teoría de conjuntos de su conjunto:
- Un punto singular aislado es un punto para el cual existe alguna vecindad perforada donde esta función es analítica .
- Un punto singular no aislado es un punto singular que no está aislado. En este caso, podemos hablar del llamado conjunto especial .
Tipos de singularidades
A su vez, las características aisladas se pueden dividir en tres tipos:
- Un punto singular removible es un punto en el cual la función no está definida, pero el límite de la función en el cual es finito, respectivamente, en este punto la función puede extenderse por el valor de este límite y extenderse a una función que es analítica en este punto.
- Un polo es un punto donde el límite de una función es infinito. Al considerar una función como un mapeo no al plano complejo sino a la esfera de Riemann , el polo no debe considerarse un punto singular; ver función meromórfica .
- Un punto singular esencial es un punto en el que no existe el límite de una función.
Singularidades en superficies de Riemann
Las singularidades también se pueden considerar para funciones holomorfas definidas en superficies de Riemann . En particular, si se permite que la variable z tome valores no solo en el plano complejo, sino también en la esfera de Riemann , entonces la singularidad en el infinito para la función f está determinada por el grado de "singularidad" del punto 0 para la función
