Volumen (geometría)

El volumen es una función aditiva de un conjunto ( medida ) que caracteriza la capacidad de una región del espacio que ocupa. Inicialmente, surgió y se aplicó sin una definición estricta en relación con los cuerpos del espacio euclidiano tridimensional . Las primeras definiciones precisas fueron dadas por Peano ( 1887 ) y Jordan ( 1892 ). Posteriormente, Lebesgue generalizó el concepto a una clase más amplia de conjuntos.

Aproximaciones a la definición

Para determinar el volumen, existen varios enfoques significativamente diferentes que se complementan entre sí y son consistentes en el resultado final de “buenos lances”. Habitualmente, el concepto de volumen se entiende como la medida de Jordan , pero en ocasiones la medida de Lebesgue . Para las variedades de Riemann, el concepto de volumen se introduce de manera similar al concepto de área de superficie .

El concepto de volumen admite generalizaciones naturales al concepto de volumen -dimensional en espacio -dimensional, también al caso de espacios riemannianos y pseudo-riemannianos de dimensión arbitraria. $norte$ $norte$

Volúmenes de los cuerpos más simples

Figura	Fórmula	Notación
Cubo	$c^{3}$	$C$ - borde del cubo
Prisma	$Sh$	$S$ - área de la base, - altura del prisma $h$
Cilindro	$\pi r^{2}h$	$r$ es el radio , es la altura del cilindro $h$
Pelota	${\frac{4}{3}}\pi r^{3}$	$r$ - radio
elipsoide	${\frac{4}{3}}\pi abc$	$a B C$ - ejes principales
Pirámide	${\frac{1}{3}}Ah$	$A$ - área de la base, - altura de la pirámide $h$
Cono	${\frac{1}{3}}\pi r^{2}h$	$r$ - radio base, - altura del cono $h$

Arquímedes pudo establecer que una esfera y unos conos con un vértice común, inscritos en un cilindro, están relacionados de la siguiente manera:

два конуса : сфера : цилиндр как 1:2:3.

Arquímedes pidió noquear una bola inscrita en un cilindro sobre su tumba.

Fórmula integral general

El volumen de un cuerpo en el espacio tridimensional se calcula como una integral triple : $D$

V=\iiiint \limits _{D}1\dxdydz

(en coordenadas cartesianas )

V=\iiint \limits _{D}r\,dr\,d\theta \,dz

(en coordenadas cilíndricas )

V=\iiint \limits _{D}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi

(en coordenadas esféricas )

Véase también

Notas

Literatura

Vodnev V. T., Naumovich A. F., Naumovich N. F., Fórmulas matemáticas básicas. Manual / Ed. Bogdanova Yu. S. Ed. segundo, revisado y adicional Minsk, "La escuela superior", 1988
Merzon G.A., Yashchenko I.V. Longitud, área, volumen. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .
Tsypkin A.G. Manual de matemáticas para escuelas secundarias. - 4ª ed., rev. y add.-M.: Nauka. cap. edición Phys.-Math. lit., 1988. - 432 p.