Visualización continua

El mapeo continuo ( función continua ) es un mapeo de un espacio a otro, en el que puntos cercanos del dominio de definición van a puntos cercanos del rango de valores.

La definición más general se formula para mapeos de espacios topológicos : un mapeo se considera continuo si la imagen inversa de cualquier conjunto abierto es abierta. La continuidad de mapeos de otros tipos de espacios - espacios métricos , espacios normados y espacios similares - es una consecuencia directa de la definición general (topológica), pero se formula utilizando estructuras definidas en los espacios correspondientes - métricas , normas , etc. .

En el análisis matemático y el análisis complejo , donde se consideran las funciones numéricas y sus generalizaciones al caso de espacios multidimensionales, la continuidad de una función se introduce en el lenguaje de los límites : tales definiciones de continuidad fueron históricamente las primeras y sirvieron de base para las formación de un concepto general.

La existencia de mapeos continuos entre espacios permite "transferir" las propiedades de un espacio a otro: por ejemplo, una imagen continua de un espacio compacto también es compacta.

Un mapeo continuo que tiene una inversa y también un mapeo continuo se llama homeomorfismo . El homeomorfismo genera una relación de equivalencia sobre la clase de espacios topológicos ; los espacios que son homeomorfos entre sí tienen las mismas propiedades topológicas, y las propiedades mismas que se conservan bajo los homeomorfismos se denominan invariantes topológicos .

Definiciones

La definición más general se da en topología .

Continuidad en espacios topológicos

Se dice que una aplicación de un espacio topológico a un espacio topológico es continua si la imagen inversa de cualquier conjunto abierto está abierta, es decir: $f\dos puntos X\a Y$ $(X,\mathcal{T}_X)$ $(Y,\mathcal{T}_Y)$

\forall V\in {\mathcal {T}}_{Y}\quad f^{{-1}}(V)\in {\mathcal {T}}_{X}

. Continuidad en el subespacio

Si consideramos algún subconjunto del conjunto , entonces sobre este conjunto, de forma natural, se induce la topología , que consiste en todas las posibles intersecciones del conjunto con los conjuntos incluidos en la topología . $A$ $X$ ${\mathcal {T}}_{A}$ $A$ ${\mathcal {T}}_{X}$

Un mapa que es continuo en el conjunto será continuo en cualquiera de sus subconjuntos en el sentido de la topología inducida en él. $f\dos puntos X\a Y$ $X$

Continuidad en el punto

La continuidad en un punto se formula en el lenguaje de vecindades y conecta el sistema de vecindades de un punto del dominio de definición con el sistema de vecindades del punto correspondiente del dominio de valores.

Un mapeo se llama continuo en un punto si para cualquier vecindad del punto hay una vecindad del punto tal que . $f\dos puntos X\a Y$ $X$ $V$ $f(x)$ $tu$ $X$ $f(U)\subconjunto V$

Una aplicación es continua en algún conjunto si y solo si es continua en todos los puntos del conjunto dado. [una]

Si el dominio de una función satisface el primer axioma de contabilidad , en particular para espacios métricos, la continuidad en un punto es equivalente a la llamada continuidad secuencial: si , entonces . En el caso general, las imágenes inversas secuencialmente continuas de conjuntos secuencialmente cerrados se cierran secuencialmente, lo que es análogo a la definición equivalente de mapeos continuos como aquellos bajo los cuales se cierran las imágenes inversas de conjuntos cerrados. $\lim _{{n\to \infty}}x_{n}=x$ $\lim _{{n\to \infty}}f(x_{n})=f(x)$

Definiciones equivalentes

Las siguientes declaraciones son equivalentes:

el prototipo de todo conjunto abierto es abierto;
la imagen inversa de cualquier conjunto cerrado es cerrada;
la imagen inversa de cada vecindad de un punto del rango de mapeo es una vecindad del punto correspondiente del dominio de definición;
la imagen del cierre de cualquier conjunto está contenida en el cierre de la imagen de este conjunto;
el cierre de la preimagen de cualquier conjunto está contenido en la preimagen del cierre.

Por lo tanto, cada una de estas formulaciones puede usarse como una definición de la continuidad de un mapeo.

Continuidad en espacios métricos y normados

En espacios métricos, la topología viene dada por una familia de bolas abiertas de diferentes "radios" definidas por una métrica, por lo que la definición general se formula en términos de esta métrica (definición " épsilon-delta "):

Se dice que una aplicación de un espacio métrico a un espacio métrico es continua en un punto si para cada existe tal que para cada tal que , se cumple la siguiente desigualdad: . $f\dos puntos X\a Y$ $(X,\rho _{X})$ $(Y,\rho _{Y})$ $a$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\en X$ $\rho _{X}(x,a)<\delta$ $\rho _{Y}(f(x),f(a))<\varepsilon$

Para espacios lineales normados (incluidos los de Hilbert y los espacios euclidianos de dimensión finita ), la métrica viene dada por una norma, por lo que se da la misma definición en términos de una norma.

Sea un mapeo entre espacios normados con normas y respectivamente. Una función es continua en un punto si, para cualquier número, existe un número tal que para todos los puntos tales que se cumple la desigualdad , $f\dos puntos {N_{1}}\a {N_{2}}$ $\|{*}\|_{1}$ $\|{*}\|_{2}$ $F$ $a$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\en N_{1}$ $\|xa\|_{1}<\delta$ $\|f(x)-f(a)\|_{2}<\varepsilon$

Los espacios métricos (y por lo tanto los espacios normados) satisfacen el primer axioma de contabilidad, por lo que esta definición es equivalente a la definición de continuidad secuencial.

Funciones continuas (funcionales)

En el caso de un eje numérico, la norma suele ser el módulo del número, por lo que la definición de la continuidad de la funcional (o ), donde es un espacio topológico arbitrario , es la siguiente: $f:X\flecha derecha {\mathbb {R}}$ $\matemáticas {C}$ $X$

Una funcional se dice continua en un punto si para alguna existe una vecindad de ese punto tal que se cumple la condición . $F$ $a \ en X$ $\varepsilon >0$ $\Sigma _{a}$ $\para todo x\en \Sigma _{a}$ $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$

El conjunto de funcionales (funciones) continuas suele denotarse por . Un caso especial de funcionales continuos son las funciones continuas de un argumento numérico. $X$ $C(X)$

Función numérica continua

Vamos (o ). Una función es continua en un punto si para cualquier número existe un número tal que para todos los puntos la condición implica . $f\colon {\mathbb {R}}\supset E\to {\mathbb {R}}$ $\matemáticas {C}$ $F$ $a$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\en mi$ $|xa|<\delta$ $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$

En otras palabras, una función es continua en un punto límite del conjunto si tiene un límite en un punto dado y este límite coincide con el valor de la función en un punto dado: $F$ $a$ $mi$

f\in C(\{a\})\Leftrightarrow \lim \limits _{{x\to a}}f(x)=f(a)

Una función es continua en un conjunto si es continua en todos los puntos del conjunto dado. En este caso, dicen que la clase funciona y escriben: o, más detalladamente, . $F$ $mi$ $F$ $C^{0}$ $f\en C^{0}(E)$ $f\in C^{0}(E,\mathbb {R} )$

Propiedades de mapeos continuos

La preimagen completa de cualquier conjunto abierto (cerrado) bajo un mapeo continuo es un conjunto abierto (cerrado)

La imagen de un conjunto compacto bajo un mapeo continuo es un conjunto compacto .

Una función numérica continua en un conjunto compacto está acotada y alcanza sus límites superior e inferior . Esta propiedad se deriva de la anterior.

La imagen de un conjunto conexo bajo un mapeo continuo es un conjunto conexo .

El teorema de Tietze . Cualquier función continua de valor real definida en un subconjunto cerrado de un espacio normal puede extenderse a una función continua en todo el espacio.

La composición de mapeos continuos también es un mapeo continuo.
La suma, la diferencia y el producto de funciones continuas de valor real son continuos.
La continuidad de un mapeo lineal de un espacio topológico lineal a otro implica su delimitación. En el caso de espacios normados, la continuidad de una aplicación lineal es equivalente a su acotación.
El teorema de Stone-Weierstrass (una generalización del teorema clásico de Weierstrass ). Sea un espacio de funciones continuas sobre un espacio topológico compacto de Hausdorff . Sea un subconjunto que contenga constantes, cerrado con respecto a la composición y combinación lineal de funciones, y que también contenga los límites de sus sucesiones de funciones uniformemente convergentes . En este caso, si y sólo si , existe tal que . $C(X)$ $X$ $B(X)$ $C(X)$ $B(X)=C(X)$ $\para todo x_{1},x_{2}\en X$ $f \ en B$ $f(x_{1})\no =f(x_{2})$

Definiciones relacionadas

Un homeomorfismo es un mapeo continuo uno a uno de un espacio topológico a otro con también un mapeo inverso continuo.
Continuidad uniforme

Véase también

Enlaces

Estudios matemáticos Archivado el 18 de octubre de 2011 en Wayback Machine Caricatura sobre continuidad

Notas

↑ En el análisis matemático, el concepto de continuidad primero se formula localmente , en algún punto, y la continuidad en un conjunto se define como la continuidad en cada punto del conjunto dado.

Literatura

Kelly JL Capítulo 3. Productos y espacios factoriales // Topología general = Topología general. - 2ª ed. - M. : Nauka, 1981. - S. 119-151. — 438 pág.