Ecuación diferencial homogénea

Hay dos conceptos de homogeneidad de ecuaciones diferenciales .

Uniformidad en el argumento

Se dice que una ecuación ordinaria de primer orden es homogénea con respecto a x e y si la función es homogénea de grado 0: $y'=f(x,y)$ $f(x,y)$

f(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{0}f(x,y)=f(x,y)

Una función homogénea se puede representar como una función de : ${\frac{y}{x))$

\ f(x,y)=f\left(1,{\frac {y}{x}}\right)=g\left({\frac {y}{x}}\right)

Usamos sustitución , y luego usamos la regla del producto : . Entonces la ecuación diferencial se reduce a una ecuación con variables separables: ${\frac{y}{x}}=u$ ${\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+ tu$ $y'=f(x,y)$

u'x+u=g(u)\Rightarrow {\frac {du}{ug(u)))+{\frac {dx}{x}}=0

Uniformidad en el lado derecho

Una ecuación diferencial es homogénea si no contiene un término libre , un término que no depende de la función desconocida. Entonces, podemos decir que la ecuación es homogénea si . $F(y,y',y'',\ldots)=G(x)$ $G(x)\equiv 0$

Si, se habla de una ecuación diferencial no homogénea . $G(x)\neq 0$

Fue para la solución de ecuaciones diferenciales homogéneas lineales que se construyó toda una teoría, la cual se vio facilitada por el cumplimiento de su principio de superposición .

Ecuación diferencial homogénea

Uniformidad en el argumento

Uniformidad en el lado derecho

Véase también