Ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes

Una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes es una ecuación diferencial ordinaria de la forma:

\sum _{k=0}^{n}{a_{k}y^{(k)}(t)}=a_{n}y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\puntos +a_{1}y'+a_{0}y=f(t)

dónde

${\ estilo de visualización y = y (t)}$ es la función deseada,
$y^{(k)}=y^{(k)}(t)$ - su derivada -i , $k$
${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots a_{n))$ - números fijos,
$pie)$ es una función dada (cuando , tenemos una ecuación lineal homogénea, en caso contrario, una ecuación lineal no homogénea). $f(t)\equiv 0$

Ecuación homogénea

Definición

La raíz de multiplicidad de un polinomio es un número tal que este polinomio es divisible sin resto por pero no por . $k$ ${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n))$ $C$ ${\ estilo de visualización (xc) ^ {k}}$ ${\ estilo de visualización (xc) ^ {k + 1}}$

Ecuación de orden n

Ecuación homogénea:

a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\puntos +a_{1}y'+a_{0}y=0

integrado así:

Sean todas las raíces diferentes del polinomio característico , que es el lado izquierdo de la ecuación característica ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \ puntos, \ lambda _ {k}}$

a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\dots +a_{1}\lambda +a_{0}=0

multiplicidades , respectivamente, . ${\displaystyle m_{1},m_{2},\puntos,m_{k))$ $m_{1}+m_{2}+\puntos +m_{k}=n$

Entonces las funciones

t^{\nu }e^{\lambda _{j}t},\ \ 1\leq j\leq k,\ \ 0\leq \nu \leq m_{j}-1

son soluciones linealmente independientes (generalmente complejas) de una ecuación homogénea, forman un sistema fundamental de soluciones .

La solución general de la ecuación es una combinación lineal con coeficientes arbitrarios constantes (generalmente complejos) del sistema fundamental de soluciones.

Usando la fórmula de Euler para pares de raíces complejas conjugadas , podemos reemplazar los correspondientes pares de funciones complejas en el sistema fundamental de soluciones con pares de funciones reales de la forma ${\ estilo de visualización \ lambda _ {j} = \ alfa _ {j} \ pm i \ beta _ {j}, \ \ 1 \ leq j \ leq k}$

t^{\nu }e^{\alpha _{j}t}\cos(\beta _{j}t),\ \ t^{\nu }e^{\alpha _{j}t }\sin(\beta _{j}t),\ \ j\in {\overline {1\dots k)),\ \ 0\leq \nu \leq m_{j}-1

y construya la solución general de la ecuación como una combinación lineal con coeficientes constantes reales arbitrarios.

Ecuación de segundo orden

Ecuación homogénea de segundo orden:

a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=0

integrado así:

Sean las raíces de la ecuación característica ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}}$

a_{2}\lambda ^{2}+a_{1}\lambda +a_{0}=0

que es una ecuación cuadrática .

La forma de la solución general de la ecuación homogénea depende del valor del discriminante : ${\displaystyle\Delta=a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0))$

cuando la ecuacion tiene dos raices reales diferentes ${\ estilo de visualización \ Delta > 0}$

\lambda_{1,2}=\alpha_{1,2}={\frac {-a_{1}\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a_{2}}}}.

La solución general se parece a:

{\displaystyle y(t)=c_{1}e^{\alpha _{1}t}+c_{2}e^{\alpha _{2}t))

at - dos raíces reales coincidentes ${\ estilo de visualización \ Delta = 0}$

\lambda_{1}=\lambda_{2}=\alpha ={\frac {-a_{1}}{2a_{2}}}.

La solución general se parece a:

{\displaystyle y(t)=c_{1}e^{\alpha t}+c_{2}te^{\alpha t))

para , hay dos raíces conjugadas complejas ${\ estilo de visualización \ Delta <0}$

\lambda _{1,2}=\alpha \pm i\beta ={\frac {-a_{1}}{2a_{2}}}\pm i{\frac {\sqrt {|\Delta |}}{2a_{2}}}.

La solución general se parece a:

y(t)=c_{1}e^{\alpha t}\cos(\beta t)+c_{2}e^{\alpha t}\sin(\beta t)

Ecuación no homogénea

La ecuación no homogénea se integra por el método de variación de constantes arbitrarias ( método de Lagrange ).

La forma de la solución general de la ecuación no homogénea

Si se da una solución particular de la ecuación no homogénea , y es el sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea correspondiente, entonces la solución general de la ecuación viene dada por la fórmula $y_{0}(t)$ $y_{1}(t),\ldots,y_{n}(t)$

y(t)=c_{1}y_{1}(t)+\ldots +c_{n}y_{n}(t)+y_{0}(t),

donde son constantes arbitrarias. ${\displaystyle c_{1},\puntos,c_{n))$

Principio de superposición

Como en el caso general de las ecuaciones lineales , existe un principio de superposición utilizado en varias formulaciones del principio de superposición en física.

En el caso de que la función del lado derecho consista en la suma de dos funciones

{\ Displaystyle f (t) = f_ {1} (t) + f_ {2} (t)}

una solución particular de una ecuación no homogénea también consiste en la suma de dos funciones

y_{0}(t)=y_{01}(t)+y_{02}(t)

donde son soluciones de la ecuación no homogénea con lados derechos , respectivamente. $y_{0j}(t),\ \ j\in {\overline {1,2))$ $f_{j}(t),\ \ j\in {\overline {1,2))$

Caso especial: cuasi -polinomio

En el caso donde es un cuasi-polinomio, es decir, $pie)$

f(t)=p(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t)+q(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t)

donde son polinomios , se busca una solución particular de la ecuación en la forma ${\ estilo de visualización p (t), \ q (t)}$

y_{0}(t)=(P(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t)+Q(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t)) t^{s}

dónde

${\ estilo de visualización P (t), \ Q (t)}$ polinomios, cuyos coeficientes se encuentran por sustitución en la ecuación y cálculo por el método de coeficientes indefinidos . $grados(P)=grados(Q)=Max(grados(p),\ grados(q))$ $y_{0}(t)$
$s$ es la multiplicidad del número complejo como raíz de la ecuación característica de la ecuación homogénea. ${\ estilo de visualización w = \ alfa + i \ beta}$

En particular, cuando

{\displaystyle f(t)=p(t)e^{\alpha t))

donde es un polinomio, se busca una solución particular de la ecuación en la forma $pag(t)$

{\displaystyle y_{0}(t)=P(t)e^{\alpha t}t^{s))

Aquí hay un polinomio, , con coeficientes indeterminados, que se encuentran sustituyendo en la ecuación. es la multiplicidad como raíz de la ecuación característica de la ecuación homogénea. $P(t)$ $grados(P)=grados(p)$ $y_{0}(t)$ $s$ $\alfa$

Cuando

{\ estilo de visualización f (t) = p (t)}

donde es un polinomio, se busca una solución particular de la ecuación en la forma $pag(t)$

{\displaystyle y_{0}(t)=P(t)t^{s))

Aquí hay un polinomio, y es una multiplicidad de cero como raíz de la ecuación característica de una ecuación homogénea. $P(t)$ $grados(P)=grados(p)$ $s$

La ecuación de Cauchy-Euler

La ecuación de Cauchy-Euler es un caso especial de una ecuación diferencial lineal de la forma:

\sum _{k=1}^{n}{a_{k}(\alpha x+\beta )^{k}y^{(k)}(x)}=a_{n}(\alpha x+\beta )^{n}y^{(n)}(x)+...+a_{2}(\alpha x+\beta )^{2}y''(x)+a_{1}( \alpha x+\beta )y'(x)+a_{0}y(x)=f(x)

reducible a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes mediante una sustitución de la forma . ${\ estilo de visualización (\ alfa x + \ beta) = e ^ {t})$

Aplicación

Las ecuaciones diferenciales son la forma clásica y más utilizada de descripción matemática de procesos. Varias formas de descripciones matemáticas son una herramienta para el análisis analítico y la síntesis de sistemas dinámicos y sistemas de control automático. Las ecuaciones diferenciales cuyos parámetros dependen de variables se denominan no lineales y no tienen soluciones generales. En la actualidad, el aparato matemático de las transformaciones integrales de Laplace y Fourier es ampliamente utilizado en la teoría del control automático. Se sabe por las matemáticas que la CC se transforma de forma compacta en el dominio de la frecuencia. con coeficientes constantes y bajo condiciones iniciales cero. Y en teoría de control, tal ecuación es lineal. [una]

Si un sistema dinámico está representado por ecuaciones diferenciales no lineales de la física matemática, entonces se requiere su linealización para aplicar los métodos clásicos de análisis de estos sistemas .

Véase también

Una secuencia recurrente lineal es un análogo discreto de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.

Notas

↑ A. V. Andryushin, V. R. Sabanin, N. I. Smirnov. Gestión e innovación en ingeniería térmica. - M: MPEI, 2011. - S. 41. - 392 p. - ISBN 978-5-38300539-2 .