Pirámide octaédrica

Pirámide octaédrica
Diagrama de Schlegel : proyección ( perspectiva ) de una pirámide octaédrica regular en un espacio tridimensional
Tipo de	Pirámide poliédrica
Símbolo Schläfli	( ) ∨ {3,4} ( ) ∨ r{3,3} ( ) ∨ s{2,6} ( ) ∨ [{4} + { }] ( ) ∨ [{ } + { } + { }]
células	9
caras	veinte
costillas	Dieciocho
picos	7
politopo dual	pirámide cúbica

Una pirámide octaédrica es un poliedro de cuatro dimensiones (policélula): una pirámide poliédrica que tiene una base de octaedro .

Descripción

Limitado a 9 celdas tridimensionales: 8 tetraedros y 1 octaedro . La celda octaédrica está rodeada por las ocho tetraédricas; cada celda tetraédrica está rodeada por un octaédrico y tres tetraédricos.

Sus 20 caras bidimensionales son triángulos . 8 caras separan las celdas octaédricas y tetraédricas, las 12 restantes, dos tetraédricas.

Tiene 18 costillas. Tres caras y tres celdas cada una (octaédrica y dos tetraédricas) convergen en 12 aristas, cuatro caras y cuatro celdas cada una (solo tetraédrica) en las 6 restantes.

Tiene 7 picos. En 6 vértices convergen 5 aristas, 8 caras cada una, y 5 celdas cada una (octaédrica y cuatro tetraédrica); en 1 vértice: 6 aristas, 12 caras y las 8 celdas tetraédricas.

Pirámide octaédrica isoédrica

Si todas las aristas de una pirámide octaédrica tienen la misma longitud , entonces sus caras son triángulos regulares iguales . El hipervolumen tetradimensional y la hiperárea tridimensional de la superficie de dicha pirámide se expresan, respectivamente, como $a$

V_{4}={\frac{1}{12}}\;a^{4}\aprox. 0{,}0833333a^{4},

S_{3}={\sqrt {2}}\;a^{3}\aproximadamente 1{,}4142136a^{3}.

La altura de la pirámide y el radio de la hiperesfera descrita (pasando por todos los vértices de la multicelda) serán entonces iguales a

H=R={\frac {\sqrt {2}}{2}}\;a\aproximadamente 0{,}7071068a,

el radio de la hiperesfera exterior semi-inscrita (tocando todos los bordes en sus puntos medios) —

\rho _{1}={\frac {1}{2}}\;a=0{,}5000000a,

radio de la hiperesfera interior semi-inscrita (tocando todas las caras en sus centros) —

\rho _{2}={\frac {\sqrt {6}}{6}}\;a\approx 0{,}4082483a,

radio de la hiperesfera inscrita (tocando todas las celdas) —

r={\frac {\sqrt {2}}{6}}\;a\approx 0{,}2357023a.

El centro de la hiperesfera inscrita se encuentra dentro de la pirámide, los centros de la hiperesfera circunscrita y ambas semi-inscritas se encuentran en el centro de su base.

Tal pirámide se puede obtener a partir de dieciséis celdas cortándola en dos partes iguales.

El ángulo entre dos celdas tetraédricas adyacentes será el mismo que en una celda de dieciséis. El ángulo entre una celda octaédrica y cualquier celda tetraédrica será $120^{\circ},$ $60^{\circ}.$

En coordenadas

Una pirámide octaédrica isoédrica con una longitud de arista se puede colocar en un sistema de coordenadas cartesianas de modo que sus vértices tengan coordenadas ${\ sqrt 2}$

${\ estilo de visualización \ izquierda (\ pm 1; \; 0; \; 0; \; 0 \ derecha),}$
${\ estilo de visualización \ izquierda (0; \; \ pm 1; \; 0; \; 0 \ derecha),}$
${\ estilo de visualización \ izquierda (0; \; 0; \; \ pm 1; \; 0 \ derecha),}$
${\ estilo de visualización \ izquierda (0; \; 0; \; 0; \; 1 \ derecha).}$

El origen de coordenadas será el centro de las hiperesferas descritas y ambas semi-inscritas de la multicelda. ${\ estilo de visualización (0; \; 0; \; 0; \; 0)}$

Relleno de espacios

Dado que dos pirámides octaédricas isoédricas forman una de dieciséis celdas, y el espacio de cuatro dimensiones se puede teselar con dieciséis celdas sin espacios ni superposiciones, una pirámide octaédrica isoédrica también es una celda múltiple que llena el espacio de cuatro dimensiones.

Enlaces

Richard Klitzing. Pirámide octaédrica