Gram determinante

El determinante de Gram ( Gramian ) de un sistema de vectores en el espacio euclidiano es el determinante de la matriz de Gram de dicho sistema: $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

\begin{vmatrix} \langle e_1,\;e_1\rangle & \langle e_1,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_1,\;e_n\rangle \\ \langle e_2,\;e_1\rangle & \ langle e_2,\;e_2\rangle & \ldots & \langle e_2,\;e_n\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle e_n,\;e_1\rangle & \langle e_n, \;e_2\rangle & \ldots & \langle e_n,\;e_n\rangle \\ \end{vmatriz},

donde es el producto escalar de vectores y . $\langle e_i,\;e_j\rangle$ $\mathbf{e}_i$ $\mathbf{e}_j$

La matriz de Gram surge del siguiente problema de álgebra lineal:

Deje que el sistema de vectores en el espacio euclidiano genere un subespacio . Sabiendo cuáles son los productos escalares del vector de con cada uno de estos vectores, encuentre los coeficientes de la expansión del vector por vectores . $V$ $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$ $tu$ $\mathbf{x}$ $tu$ $X$ $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

Basado en la descomposición

\mathbf{x}=x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2+\ldots+x_n\mathbf{e}_n,

Se obtiene un sistema lineal de ecuaciones con matriz de Gram:

{\begin{casos}\langle \mathbf {e}_{1},\;\mathbf {e}_{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e}_{1} ,\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n }=\langle \mathbf {e} _{1},\;\mathbf {x} \rangle ;\\\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{1}\ rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{2} ,\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{2},\;\mathbf {x} \rangle ;\\\quad \ldots \quad \ ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \\\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf { e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\ldots +\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{n},\;\mathbf {x} \rangle .\\ \end{casos}}

Este problema tiene una solución única si y solo si los vectores son linealmente independientes. Por lo tanto, la desaparición del determinante de Gram de un sistema de vectores es un criterio para su dependencia lineal. $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

Significado geométrico del determinante de Gram

El significado geométrico del determinante de Gram se revela al resolver el siguiente problema:

Deje que el sistema de vectores en el espacio euclidiano genere un subespacio . Conociendo los productos escalares del vector de con cada uno de estos vectores, encuentre la distancia de a . $V$ $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$ $tu$ $\mathbf{x}$ $V$ $\mathbf{x}$ $tu$

El mínimo de distancias sobre todos los vectores desde se logra en la proyección ortogonal del vector sobre . En este caso , donde el vector es perpendicular a todos los vectores desde y la distancia desde hasta es igual al módulo del vector . Para un vector , se resuelve el problema de expansión (ver arriba) en términos de vectores , y la solución del sistema resultante se escribe de acuerdo con la regla de Cramer : $|\mathbf{x}-\mathbf{u}|$ $\mathbf{u}$ $tu$ $\mathbf{x}$ $tu$ $\mathbf{x}=\mathbf{u}+\mathbf{n}$ $\matemáticas {n}$ $tu$ $\mathbf{x}$ $tu$ $\matemáticas {n}$ $\mathbf{u}$ $\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\mathbf{e}_n$

\mathbf{u}=-\frac{1}{\Gamma}\begin{vmatrix} \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_1, \;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{x} \rangle \\ \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\ mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle \mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ ldots \\ \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf {e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle \\ \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n & \mathbf{0} \end{vmatriz},

donde es el determinante de Gram del sistema. el vector es: $\Gama$ $\matemáticas {n}$

\mathbf{n}=\mathbf{x}-\mathbf{u}=\frac{1}{\Gamma}\begin{vmatrix} \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_1\ rangle & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{ e}_1,\;\mathbf{x}\rangle \\ \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e }_2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_2,\;\mathbf{x}\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_1\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e} _2\rangle & \ldots & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{e}_n\rangle & \langle\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x}\rangle \\ \mathbf{ e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n & \mathbf{x} \end{vmatriz}

y el cuadrado de su modulo es

|\mathbf{n}|^2=\langle\mathbf{n},\;\mathbf{x}\rangle=\frac{\Gamma(\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2, \;\ldots,\;\mathbf{e}_n,\;\mathbf{x})}{\Gamma(\mathbf{e}_1,\;\mathbf{e}_2,\;\ldots,\; \mathbf{e}_n)}.

De esta fórmula, por inducción sobre , obtenemos la siguiente afirmación: $norte$

El determinante de Gram de un sistema de vectores es igual al cuadrado del volumen del paralelepípedo bidimensional formado por estos vectores. Esto muestra que en el caso de un espacio tridimensional, el determinante de Gram de tres vectores es igual al cuadrado de su producto mixto . $norte$ $norte$

Véase también

Proceso de Gram-Schmidt