Proceso de Gram-Schmidt

El proceso de Gram - Schmidt transforma una secuencia de vectores linealmente independientes en un sistema ortonormal de vectores , y de tal forma que cada vector es una combinación lineal de . ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots,\;\mathbf {a} _{n))$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots,\;\mathbf {e} _{n))$ $\mathbf{e}_j$ ${\mathbf {a}}_{1},\;\ldots,\;{\mathbf {a}}_{j}$

El proceso clásico de Gram-Schmidt

Algoritmo

Sean vectores linealmente independientes y sea el operador de proyección de un vector sobre un vector definido como ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\;\ldots,\;\mathbf {a} _{n))$ $\mathbf {proyecto} _{\mathbf {b} }\,\mathbf {a}$ ${\ matemáticas {a}}$ ${\ matemáticas {b}}$

{\mathbf {proyecto}}_{{{\mathbf {b}}}}\,{\mathbf {a}}={\langle {\mathbf {a}},{\mathbf {b}}\rangle \ sobre \langle {\mathbf {b)),{\mathbf {b}}\rangle }{\mathbf {b)),

donde es el producto escalar de vectores y . $\langle {\mathbf {a}},{\mathbf {b}}\rangle$ ${\ matemáticas {a}}$ ${\ matemáticas {b}}$

El proceso clásico de Gram-Schmidt se realiza de la siguiente manera:

{\begin{matriz}{lclr}\mathbf {b}_{1}&=&\mathbf {a}_{1}&(1)\\\mathbf {b}_{2}&= &\mathbf {a} _{2}-\mathbf {proy} _ {\mathbf {b} _{1}}\,\mathbf {a} _{2}&(2)\\\mathbf {b} _ {3}&=&\mathbf {a} _ {3}-\mathbf {proyecto} _ {\mathbf {b} _ {1}}\,\mathbf {a} _ {3}-\mathbf {proyecto } _{\mathbf {b} _{2}}\,\mathbf {a} _{3}&(3)\\&\puntos &&\\\mathbf {b} _{n}&=&\mathbf {a} _ {n}-\mathbf {proyecto} _ {\mathbf {b} _ {1}}\,\mathbf {a} _ {n}-\mathbf {proyecto} _ {\mathbf {b} _ {2}}\,\mathbf {a} _ {n}-\dots -\mathbf {proy} _ {\mathbf {b} _ {n-1}}\,\mathbf {a} _ {n}& (n)\end{matriz}}

A partir de cada vector , se puede obtener un vector normalizado de longitud unitaria , definido como ${\ estilo de visualización \ mathbf {b} _ {j} \; (j = 1 \ ldots n)}$ $\mathbf{e}_j$

{\mathbf {e}}_{j}={{\mathbf {b}}_{j} \over \|{\mathbf {b}}_{j}\|}

Resultados del proceso Gram-Schmidt:

${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\;\ldots,\;\mathbf {b} _{n))$ es un sistema de vectores ortogonales o

${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots,\;\mathbf {e} _{n))$ es un sistema de vectores ortonormales.

El cálculo se denomina ortogonalización de Gram-Schmidt y ortonormalización de Gram-Schmidt. ${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\;\ldots,\;\mathbf {b} _{n))$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\;\ldots,\;\mathbf {e} _{n))$

Interpretación geométrica

Considere la fórmula (2), el segundo paso del algoritmo. Su representación geométrica se muestra en la Fig. una:

conseguir la proyección del vector sobre ; ${\mathbf{a}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{1}$
cálculo de , es decir, la perpendicular que se proyecta sobre . Esta perpendicular es el vector calculado en la fórmula (2) ; ${\mathbf {a}}_{2}-{\mathbf {proyecto}}_{({\mathbf {b}}_{1}}}{\mathbf {a}}_{2}$ ${\mathbf{a}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$
moviendo el vector obtenido en el paso 2 al origen. Este movimiento se hace en la figura solo para mayor claridad; ${\mathbf {b}}_{2}$

La figura muestra que el vector es ortogonal al vector , ya que es la perpendicular sobre la que se proyecta . ${\mathbf {b}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$ ${\mathbf{a}}_{2}$ ${\mathbf {b}}_{1}$

Considere la fórmula (3), el tercer paso del algoritmo, en la siguiente versión:

{\begin{matriz}{lcr}{\mathbf {b}}_{3}={\mathbf {a}}_{3}-({\mathbf {proy}}_{{{\mathbf {b} }_{1))}{\mathbf {a}}_{3}+{\mathbf {proyecto}}_{({\mathbf {b}}_{2}}}{\mathbf {a}}_ {3})&&(6)\\\end{matriz}}

Su representación geométrica se muestra en la Fig. 2:

conseguir la proyección del vector sobre ; ${\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{1}$
conseguir la proyección del vector sobre ; ${\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{2}$
cálculo de la suma , es decir, la proyección del vector sobre el plano formado por los vectores y . Este plano está sombreado en gris en la figura; ${\mathbf {proyecto}}_{{{\mathbf {b}}_{1}}}{\mathbf {a}}_{3}+{\mathbf {proyecto}}_{{{\mathbf {b }}_{2}}}{\matemáticas {a}}_{3}$ ${\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$
cálculo , es decir, la perpendicular, que se proyecta sobre el plano formado por los vectores y . Esta perpendicular es el vector calculado en la fórmula (6) ; ${\mathbf {a}}_{3}-({\mathbf {proyecto}}_{({\mathbf {b}}_{1}}}{\mathbf {a}}_{3}+{\ mathbf {proyecto}}_{{{\mathbf {b}}_{2}}}{\mathbf {a}}_{3})$ ${\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$ ${\matemáticas{b}}_{3}$
traslado recibido al origen. Este movimiento se hace en la figura solo para mayor claridad. No es una operación matemática y por lo tanto no se refleja en la fórmula (6). ${\matemáticas{b}}_{3}$

La figura muestra que el vector es ortogonal a los vectores y , ya que es una perpendicular a lo largo de la cual se proyecta sobre el plano formado por los vectores y . ${\matemáticas{b}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$ ${\matemáticas{b}}_{3}$ ${\mathbf {a}}_{3}$ ${\mathbf {b}}_{1}$ ${\mathbf {b}}_{2}$

Así, en el proceso de Gram-Schmidt , la proyección se realiza ortogonalmente sobre el hiperplano atravesado por vectores . A continuación, el vector se calcula como la diferencia entre y su proyección. Es decir , es la perpendicular desde al hiperplano atravesado por los vectores . Por lo tanto, es ortogonal a los vectores que forman este hiperplano. ${\mathbf {b}}_{j}$ ${\mathbf {a}}_{j}$ ${\mathbf {b}}_{1},\;\ldots,\;{\mathbf {b}}_{{j-1}}$ ${\mathbf {b}}_{j}$ ${\mathbf {a}}_{j}$ ${\mathbf {b}}_{j}$ ${\mathbf {a}}_{j}$ ${\mathbf {b}}_{1},\;\ldots,\;{\mathbf {b}}_{{j-1}}$ ${\mathbf {b}}_{j}$

Ocasiones especiales

El proceso de Gram-Schmidt también se puede aplicar a una secuencia infinita de vectores linealmente independientes.

Además, el proceso de Gram-Schmidt se puede aplicar a vectores linealmente dependientes. En este caso, produce un (vector cero) en el paso si es una combinación lineal de vectores . Para preservar la ortogonalidad de los vectores de salida y evitar la división por cero durante la ortogonalización, el algoritmo debe descartar los vectores cero. El número de vectores producidos por el algoritmo será igual a la dimensión del subespacio generado por los vectores (es decir, el número de vectores linealmente independientes que se pueden distinguir de los vectores originales). $\mathbf {0}$ $j$ ${\mathbf {a}}_{j}$ ${\mathbf {a}}_{1},\;\ldots,\;{\mathbf {a}}_{{j-1}}$

Propiedades

La matriz de transición de a es una matriz triangular superior . ${\mathbf {a}}_{1},\;\ldots,\;{\mathbf {a}}_{j}$ ${\mathbf {b}}_{1},\;\ldots,\;{\mathbf {b}}_{j}$

El producto de las longitudes es igual al volumen del paralelepípedo construido sobre los vectores del sistema como sobre las aristas. ${\mathbf {b}}_{1},\;\ldots,\;{\mathbf {b}}_{j}$ ${\mathbf {a}}_{1},\;\ldots,\;{\mathbf {a}}_{j}$

El proceso de Gram-Schmidt para los vectores de columna de la matriz de determina la equivalencia de homotopía . $GL(n)$ ${\ estilo de visualización GL (n) \ a O (n)}$

Interpretaciones adicionales

El proceso de Gram-Schmidt se puede interpretar como la descomposición de una matriz cuadrada no degenerada en el producto de una matriz ortogonal (o unitaria en el caso de un espacio hermitiano ) y una matriz triangular superior con elementos diagonales positivos, la descomposición QR , que es una caso especial de la descomposición de Iwasawa .

Literatura

Beklemishev DV Curso de geometría analítica y álgebra lineal. — M .: Nauka .

Enlaces

https://www.youtube.com/watch?v=GhhpG1tCQLU Animación del proceso en el avión