Método Cramer

El método de Cramer ( Regla de Cramer) es un método para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales con un número de ecuaciones igual al número de incógnitas con un determinante principal distinto de cero de la matriz de coeficientes del sistema (además, para tales ecuaciones, la solución existe y es único). [una]

Descripción del método

Para un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas (sobre un campo arbitrario ) $norte$ $norte$

{\begin{casos}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1} +a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\\\end{casos}}

con el determinante de la matriz del sistema , que es diferente de cero, la solución se escribe en la forma $\Delta$

x_{i}={\frac{1}{\Delta }}{\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}& \ldots &a_{1n}\\a_{21}&\ldots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots & \ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n-1,1}&\ldots &a_{n-1,i-1}&b_{n-1}&a_{n-1,i +1}&\ldots &a_{n-1,n}\\a_{n1}&\ldots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\ldots &a_{nn} \\\end{vmatriz}}

(la i-ésima columna de la matriz del sistema se reemplaza por una columna de términos libres).
En otra forma, la regla de Cramer se formula de la siguiente manera: para cualquier coeficiente c 1 , c 2 , ..., c n la igualdad es verdadera:

(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\dots +c_{n}x_{n})\cdot \Delta =-{\begin{vmatriz}a_{11}&a_{12 }&\ldots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}&b_{2}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \ \a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}&b_{n}\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&0\\\end{vmatriz}}

De esta forma, el método de Cramer es válido sin asumir que es diferente de cero, ni siquiera es necesario que los coeficientes del sistema sean elementos de un anillo integral (el determinante del sistema puede ser incluso un divisor de cero en el anillo de coeficientes). También podemos suponer que los conjuntos y , o el conjunto no consta de elementos del anillo de coeficientes del sistema, sino de algún módulo sobre este anillo. De esta forma, la fórmula de Cramer se usa, por ejemplo, para probar la fórmula del determinante de Gram y el lema de Nakayama . $\Delta$ $b_{1},b_{2},...,b_{n}$ $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ $c_{1},c_{2},...,c_{n}$

Ejemplo

Sistema de ecuaciones lineales con coeficientes reales:

{\begin{casos}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{ 22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_ {3}\\\end{casos}}

Calificadores:

{\textstyle \Delta ={\begin{vmatriz}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{ 33}\\\end{vmatriz}},\ \ \Delta _{1}={\begin{vmatriz}b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{ 23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatriz}},\ \ }

\Delta _{2}={\begin{vmatriz}a_{11}&b_{1}&a_{13}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}\\a_{31}&b_{3}&a_ {33}\\\end{vmatriz}},\ \ \Delta _{3}={\begin{vmatriz}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&b_ {2}\\a_{31}&a_{32}&b_{3}\\\end{vmatriz}}

En los determinantes, la columna de coeficientes para la correspondiente incógnita se sustituye por la columna de términos libres del sistema.

Solución:

x_{1}={\frac {\Delta _{1}){\Delta )),\ \ x_{2}={\frac {\Delta _{2)){\Delta )),\ \ x_{ 3}={\frac {\Delta _{3)){\Delta }}

Ejemplo:

{\begin{casos}2x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=30\\x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=150\\2x_{1}+10x_{2 }+9x_{3}=110\\\end{casos}}

Calificadores:

\Delta ={\begin{vmatriz}2&5&4\\1&3&2\\2&10&9\\\end{vmatriz}}=5,\ \ \Delta _{1}={\begin{vmatriz}30&5&4\\150&3&2\\110&10&9\ \\end{vmatriz}}=-760,\ \

\Delta _{2}={\begin{vmatriz}2&30&4\\1&150&2\\2&110&9\\\end{vmatriz}}=1350,\ \ \Delta_{3}={\begin{vmatriz}2&5&30\\1&3&150 \\2&10&110\\\end{vmatriz}}=-1270.

$x_{1}=-{\frac {760}{5}}=-152,\ \ x_{2}={\frac {1350}{5}}=270,\ \ x_{3}=-{\ fracción {1270}{5}}=-254$

Complejidad computacional

El método de Cramer requiere el cálculo de determinantes dimensionales . Al utilizar el método de Gauss para calcular los determinantes, el método tiene complejidad en operaciones elementales de suma-multiplicación del orden , lo cual es más difícil que el método de Gauss al resolver el sistema directamente. Por lo tanto, el método, desde el punto de vista del tiempo dedicado a los cálculos, se consideró poco práctico. Sin embargo, en 2010 se demostró que el método de Cramer se puede implementar con una complejidad comparable a la del método de Gauss [2] . $n+1$ $n\veces n$ $O(n^{4})$ $O(n^{3})$

Literatura

Maltsev I. A. Fundamentos de álgebra lineal. - Ed. 3°, revisado, M.: "Nauka", 1970. - 400 p.

Notas

↑ Cramer, Gabriel. Introducción a l'Analyse des lignes Courbes algébriques (francés) 656–659. Ginebra: Europeana (1750). Recuperado: 18 de mayo de 2012.
↑ Ken Habgood e Itamar Arel. 2010. Revisión de la regla de Cramer para resolver sistemas lineales densos. En Actas de la multiconferencia de simulación de primavera de 2010 (SpringSim '10)

Véase también

método de Gauss

Métodos para resolver SLAE
Métodos directos	método matricial método de Gauss Método de Gauss-Jordan método Cramer descomposición LU Descomposición de Cholesky método de barrido
Métodos iterativos	método jacobi Método de Gauss-Seidel método de iteración método de relajación método de gradiente conjugado Método de gradiente biconjugado Método de gradiente biconjugado estabilizado
General	matriz inversa Métodos de proyección para resolver SLAE preacondicionamiento