La paradoja del número interesante es una paradoja semi- humorística que surge de los intentos de clasificar los números naturales como "interesantes" y "aburridos". Según esta paradoja , todos los números naturales son interesantes. La prueba de esta afirmación se lleva a cabo por el método de " por contradicción ": si hay un conjunto no vacío de números naturales sin interés, entonces este conjunto contiene el número más pequeño, pero el número sin interés más pequeño ya es interesante en sí mismo, lo que crea una contradicción [1] [2] [3] .
Una "prueba" más rigurosamente formulada de la paradoja podría verse así [3] .
Teorema. No hay números naturales sin interés .
prueba _ Supongamos que el teorema es falso , es decir, hay un conjunto no vacío de números naturales que no son interesantes. Debido a que el conjunto de los números naturales está bien ordenado , debe haber algún número más pequeño en la serie de números sin interés. Al tener una característica tan única, este número ya no puede llamarse poco interesante, por lo tanto, no puede estar en la serie de números sin interés.
Los intentos de dividir todos los números en "interesantes" y "no interesantes" conducen a una paradoja o antinomia de definición. Cualquier intento de dividir los números naturales en dos conjuntos: "interesantes" y "aburridos" conduce al fracaso. Dado que definir algo como interesante es subjetivo, puede verse aquí como una aplicación casi en broma de la autorreferencia , utilizada con el propósito de producir una paradoja. La paradoja se elimina si el concepto de "interesante" se define objetivamente, por ejemplo:
etc.
Dado que hay muchos trabajos significativos en el campo de las matemáticas que utilizan la autorreferencia (por ejemplo , el teorema de incompletitud de Gödel ), la paradoja descrita plantea serios problemas en muchas áreas de investigación.
Esta versión de la paradoja solo se extiende a conjuntos bien ordenados con un orden natural, como los números naturales; el argumento no se aplica a los números reales .
Una solución propuesta a la paradoja afirma que el primer número sin interés se vuelve interesante por esta sola circunstancia. Por ejemplo, si 39 y 41 fueran dos números sin interés, el 39 podría considerarse interesante, mientras que el 41 seguiría siendo sin interés porque no es el primer número sin interés. Sin embargo, esta decisión es incorrecta, porque la paradoja se prueba por contradicción: asumiendo que algún número no es interesante, llegamos a la conclusión de que ese número es interesante precisamente por esto, por lo tanto, un número no interesante no puede existir. El propósito de las decisiones, en particular, no es identificar números interesantes o no interesantes, sino plantear la cuestión de si los números pueden tener tales propiedades en principio.
El punto débil de la prueba es la falta de claridad sobre lo que cuenta como el "interés" de un número. Sin embargo, si asumimos que el “ predicado interesante ” está asociado con cierta lista finita de “propiedades interesantes de los números naturales”, y esta lista contiene la propiedad “el número más pequeño que no tiene ninguna propiedad de esta lista”, entonces un surge la paradoja. De manera similar, la autorreferencia se usa en la paradoja de Berry estrechamente relacionada . Dado que la paradoja radica en la definición de "interesante", solo se aplica a personas con una visión particular de los números; si para alguien todos los números carecen de interés y no encuentra interesante que cero sea el primer número sin interés (en la visión del mundo de esta persona en particular), entonces no surge la paradoja.