La paradoja del poste y el granero ( paradoja del granero y el poste , paradoja de la escalera ) es un experimento mental en el marco de la relatividad especial . Se considera un poste que vuela paralelo al suelo y por tanto sujeto a la contracción de longitud lorentziana . Como resultado, el poste encajará en un granero en el que normalmente no cabría. Por otro lado, desde el punto de vista del poste, el granero se mueve mientras el poste está en reposo. Entonces la longitud del granero se reducirá y la pértiga, ya demasiado larga, no entrará en el granero. La aparente paradoja surge del supuesto de simultaneidad absoluta. Entonces, se coloca un poste en un granero si ambos extremos del poste están dentro del granero al mismo tiempo. En relativista, la simultaneidad es relativa, por lo que la cuestión de si un poste está en un granero debe considerarse con respecto a cada observador, tanto del poste como del granero. Así, la paradoja se resuelve.
En la versión más simple de la paradoja, hay un granero con puertas abiertas en la parte delantera y trasera, y un poste que no cabe dentro del granero en reposo. Aceleramos el poste a alta velocidad horizontal disparándolo a través del granero. Debido a su alta velocidad, el poste sufre un efecto de acortamiento y se vuelve significativamente más corto. Como resultado, al volar a través del granero, durante algún tiempo el poste se coloca completamente dentro de él. Para mostrar esto, podríamos cerrar ambas puertas del granero al mismo tiempo mientras el poste está adentro.
Hasta ahora, no se ha observado ninguna paradoja. Surge cuando consideramos el mismo efecto desde el punto de vista del polo. Dado que el observador en el poste se mueve en relación con el marco de referencia inercial del granero a una velocidad constante, el marco de referencia de este observador también es inercial. Por tanto, según el principio de la relatividad, las mismas leyes de la física son válidas para el marco de referencia del polo. Luego, para el poste, él mismo descansa, y el cobertizo, por el contrario, vuela hacia él a gran velocidad. Esto significa que la longitud del granero se reduce y podemos concluir que durante su extensión, el granero no pudo acomodar completamente el poste. Por lo tanto, no podemos cerrar las puertas del granero de ambos lados encerrando un poste adentro. Esta contradicción encierra una paradoja.
La solución a la paradoja radica en la relatividad de la simultaneidad: lo que es simultáneo en un marco de referencia (por ejemplo, un granero) puede ser no simultáneo en otro (en este caso, un poste). Cuando decimos que el poste "encaja" en el cobertizo, lo que realmente queremos decir es que tanto el borde delantero como el trasero del poste estaban dentro del cobertizo al mismo tiempo. Dado que la simultaneidad es relativa, en dos marcos de referencia diferentes el polo podría encajar o no, y los observadores en ambos marcos tendrían razón. Desde el punto de vista del granero, tanto la parte delantera como la trasera del poste estaban dentro del granero en algún punto, por lo que el poste encajaba. Sin embargo, desde el punto de vista del poste, estos eventos no ocurrieron simultáneamente y el poste no cabía en el cobertizo.
Esto es fácil de ver si, en el marco de referencia del establo, tan pronto como el poste entra completamente en el establo, las puertas se cierran simultáneamente por un corto tiempo. En el sistema de referencia del polo ocurre lo siguiente. Con las puertas abiertas, el frente del poste llega a la puerta trasera del cobertizo. Esta puerta se cierra y luego se abre, permitiendo que el poste salga volando. Después de un tiempo, la parte trasera del poste vuela hacia la puerta principal del establo y, a su vez, la puerta principal se cierra y se abre. Esto demuestra que, dado que la simultaneidad es relativa, ambas puertas no necesariamente estarán cerradas al mismo tiempo, y no es necesario que el poste encaje completamente en el establo.
Una buena ilustración de lo que está sucediendo es el siguiente diagrama de Minkowski . Está construido en el marco de referencia del granero. El rango azul vertical muestra el espacio-tiempo del granero, el rango rojo muestra el espacio-tiempo del poste. Los ejes x y t para el granero y x' y t' para el poste son responsables del espacio y el tiempo.
En el marco de referencia del granero, en cada momento del tiempo, el poste se muestra en el diagrama como una línea horizontal paralela al eje x, dentro del rango rojo. La línea azul gruesa que se encuentra en el segmento azul del granero representa el poste cuando está completamente dentro del granero. Sin embargo, en el marco de referencia del polo, los eventos simultáneos se ubican a lo largo de líneas paralelas al eje x'. Así, la posición del polo en un momento dado se expresa por la intersección de estas líneas con el segmento rojo. Como puede ver en el diagrama, la línea roja gruesa nunca está completamente en el rango azul, lo que significa que el poste nunca está completamente en el granero.
En una versión más complicada de la paradoja, es posible bloquear físicamente el poste en el granero una vez que esté completamente insertado en él. Para ello, supongamos que en el marco de referencia del galpón, la puerta trasera está cerrada, es decir, el poste se detiene instantáneamente en el momento de colisionar con él [1] [2] . En el momento del contacto, la puerta principal también se cerrará y, como resultado, el poste quedará completamente bloqueado dentro del cobertizo. Dado que la velocidad relativa del poste se vuelve cero, ya no está sujeto a la contracción de la longitud y ahora excederá la longitud del granero. Como resultado, el poste no cabrá en el granero.
El razonamiento anterior implicaba el hecho de que la longitud del poste en su propio sistema de referencia excede la longitud del granero. Entonces, ¿cómo era posible cerrar ambas puertas del granero, manteniendo el poste adentro?
Aquí vale la pena señalar una propiedad general de la relativista: habiendo considerado el marco de referencia del granero, llegamos a la conclusión de que realmente encerramos el poste en él. Entonces esto también debe ser cierto en otros marcos de referencia, ya que un polo no puede romperse en un marco y permanecer intacto en otro. Para resolver la contradicción, es necesario encontrar una explicación de por qué el poste pudo quedar encerrado dentro del granero.
Esto se explica de la siguiente manera. A pesar de que en el CO del poste todas sus partes se detienen simultáneamente, en el CO del granero, por la relatividad de la simultaneidad, estas acciones ocurren en tiempos diferentes. En otras palabras, las partes del poste no cambian de velocidad al mismo tiempo, primero la parte delantera se desacelera, luego la parte trasera [1] [3] . En el momento en que se frena la parte trasera, el poste ya está completamente en el granero.
¿Qué pasa si la puerta trasera del granero siempre permanece cerrada? Que sea tan sólido que cuando choque con él, el poste se detenga inmediatamente sin atravesarlo. Luego, en el escenario descrito anteriormente, llegará un punto en el CO del granero donde el poste encajará completamente en el granero antes de chocar con la puerta trasera. Sin embargo, en el ST del poste, es demasiado grande para caber en el cobertizo, por lo que cuando golpea la pared, la parte posterior del poste aún no ha llegado a la puerta principal del cobertizo. Parece una paradoja. La pregunta es: ¿la parte trasera del poste cruzará la puerta principal del establo o no?
La dificultad surge de la suposición de que el poste es absolutamente sólido, es decir, conserva su forma bajo cualquier impacto. Los postes en la vida cotidiana son bastante sólidos e inflexibles. Sin embargo, poseer la propiedad de integridad absoluta significaría que la fuerza se propaga a través del objeto a una velocidad infinitamente alta. En otras palabras, si un objeto es empujado desde un lado, el otro se moverá inmediatamente. Esto viola el principio de relatividad, que establece que la velocidad límite de propagación de las interacciones físicas es la velocidad de la luz. Es casi imposible notar la diferencia en la vida real, pero en esta situación este hecho importa. De ello se deduce que en la teoría especial de la relatividad un objeto no puede ser absolutamente sólido.
En este caso, en el momento en que el extremo delantero del poste choca con la puerta trasera del granero, el extremo trasero aún no "sabe" y continúa moviéndose (y el poste "se encoge"). Tanto en el marco de referencia del establo como en el propio marco de referencia del poste, la parte posterior del poste se mueve en el momento del impacto al menos hasta que la fuerza de la velocidad de la luz llega al final del poste. En ese momento, la pértiga en realidad será incluso más corta de lo que quedó como resultado de la reducción de la longitud, por lo que la parte trasera de la pértiga ya estará en el granero. Lo descrito se confirma mediante cálculos en ambos sistemas de referencia.
Sigue siendo incierto qué sucede cuando la fuerza alcanza el extremo posterior del poste (área verde en el diagrama). El poste se puede romper en pedazos pequeños y, si es lo suficientemente elástico, se estirará hasta su longitud original y se caerá por la puerta trasera del granero.
La paradoja bajo consideración fue originalmente propuesta y resuelta por Wolfgang Rindler [1] . En su formulación original, una persona que corre rápido, cuyo papel es interpretado por un palo largo, cae en un pozo [4] . Se supone que el poste está completamente sobre el foso antes de que la aceleración derribe cada punto del poste.
Desde el punto de vista del foso, el poste sufre una contracción longitudinal en longitud y se coloca en el foso. Sin embargo, desde el punto de vista del poste, la longitud del foso se reduce y, como resultado, el poste no podrá caer en el foso.
De hecho, la aceleración tirando hacia abajo simultáneamente de todos los puntos del polo en el CO del pozo tira de los puntos no simultáneamente en el propio CO del polo. En el marco de referencia del poste, primero el extremo frontal del poste acelerará hacia abajo, y luego sus otras partes infinitesimales gradualmente hacia el extremo posterior. Como resultado, el poste se doblará en su marco de referencia. Vale la pena enfatizar que dado que el polo está doblado en su propio marco de referencia inercial, entonces hay una flexión física real, acompañada de una tensión visible del polo en todos los CO.
Considere una paradoja más compleja en la que la acción tiene lugar en marcos de referencia no inerciales. Primero, una persona se mueve horizontalmente y luego cae. La persona (polo segmentado) está físicamente deformada, ya que el polo se dobla en un SO y se mantiene recto en el otro. Estos aspectos traen nuevos problemas a la paradoja relacionada con la rigidez del poste, desdibujando la esencia principal de la aparente contradicción. Un problema similar pero más simple, en el que solo ocurren marcos de referencia inerciales, se ha denominado paradoja de la barra del anillo (Ferraro 2007). La varilla, que es algo más larga que el diámetro del anillo, se mueve hacia arriba a la derecha. El eje longitudinal de la varilla está ubicado en un plano horizontal, paralelo al plano del anillo. El anillo está en reposo en este momento. Si, durante el movimiento de la barra, su centro en algún punto coincide con el centro del anillo, la barra se acortará bajo la acción de la contracción de Lorentz de la longitud y atravesará el anillo. Aparece una paradoja al considerar la misma situación en el SR de la varilla. Ahora el anillo se mueve hacia abajo a la izquierda, contrayéndose horizontalmente a lo largo de su longitud. La longitud de la varilla seguirá siendo la misma. Entonces, ¿cómo pasará la varilla a través del anillo?
La resolución de la paradoja radica en la relatividad de la simultaneidad (Ferraro 2007). La longitud de un objeto físico se define como la distancia entre dos eventos simultáneos que ocurren en ambos extremos del cuerpo. Por tanto, de la relatividad de la simultaneidad se sigue la relatividad de la longitud longitudinal del objeto a lo largo del eje de movimiento, determinada por la contracción de Lorentz de la longitud. Del mismo modo, con la ayuda de tres eventos simultáneos , se determina el ángulo físico, que también será relativo. En la paradoja descrita anteriormente, a pesar de que los planos del anillo y el polo son paralelos entre sí en el CO del anillo, el paralelismo no se conserva en el CO de la barra. Una varilla que no está sujeta a acortamiento pasa a través de un anillo acortado solo porque el plano del anillo gira con respecto al polo.
Hablando matemáticamente, las transformaciones de Lorentz se pueden descomponer en el producto de una rotación espacial y una transformación de Lorentz "correcta", en la que no hay rotación espacial. Matemáticamente, la paradoja del anillo y la barra es resoluble, dado que el producto de dos transformaciones de Lorentz correctas puede dar una transformación que resulte ser incorrecta. Tal transformación contendrá un componente responsable de la rotación espacial.