Espacio paracompacto

Un espacio paracompacto es un espacio topológico en el que cualquier cubierta abierta puede inscribirse con una cubierta abierta localmente finita .

Al mismo tiempo: una familia de conjuntos que se encuentran en un espacio topológico se llama localmente finita si cada punto tiene un vecindario en el que intersecta solo un conjunto finito de elementos de la familia ; una familia de conjuntos está inscrita en una familia de conjuntos si cada elemento de la familia está contenido en algún elemento de la familia .) ${\mathcal {U}}$ $X$ $X$ $x\en X$ $X$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {U}}$ ${\ matemática V}$ ${\mathcal {U}}$ ${\ matemática V}$

Un espacio paracompacto se llama espacio paracompacto de Hausdorff . La paracompactidad es uno de los requisitos iniciales de la teoría de las variedades .

Todo espacio paracompacto de Hausdorff es normal . Esto nos permite construir particiones de unidad sobre espacios paracompactos sujetos a una cubierta abierta dada arbitrariamente.

Propiedades

En presencia de paracompacidad, algunas propiedades locales del espacio se sintetizan y se implementan globalmente. En particular,
- si un espacio paracompacto es localmente metrizable, entonces es metrizable ;
- si un espacio de Hausdorff es localmente Cech completo y paracompacto, entonces es Cech completo .
La paracompacidad no es heredada por subespacios arbitrarios, pero cada subespacio cerrado de un espacio paracompacto es un espacio paracompacto.
El producto de dos espacios paracompactos puede no ser un espacio paracompacto.
En la clase de espacios de Hausdorff
- La imagen inversa de un espacio paracompacto bajo un mapeo perfecto es un espacio paracompacto,
- La imagen de un espacio paracompacto bajo un mapeo cerrado continuo es un espacio paracompacto.
Los espacios paracompactos incluyen, en particular, los espacios de Lindelöf . Para el espacio de todas las funciones reales continuas en un espacio arbitrario de Tikhonov dotado de la topología de convergencia puntual, la paracompactidad es equivalente a Lindolöf.
Si un espacio de Banach en la topología débil es generado topológicamente por algún conjunto compacto que se encuentra en él, entonces es paracompacto.
Todos los espacios metrizables son paracompactos (teorema de Stone).
- Un espacio paracompacto es metrizable si y sólo si tiene una base de orden numerable, es decir, una base cuya secuencia decreciente de elementos que contiene cualquier punto , forma necesariamente una base en ese punto. $x\en X$
Todas las compactas son paracompactas, pero
- Pero no todos los espacios de Hausdorff localmente compactos son paracompactos.

Definiciones relacionadas

Un espacio paracompacto contable es un espacio topológico en el que cualquier cubierta abierta contable puede inscribirse con una cubierta abierta localmente finita.

Un espacio débilmente paracompacto ( metacompacto , paracompacto puntual ) es un espacio topológico en el que cualquier cubierta abierta se puede inscribir con una cubierta abierta finita puntualmente .

Un espacio fuertemente paracompacto (hipocompacto) es un espacio topológico en el que cualquier cubierta abierta puede inscribirse con una cubierta abierta de estrella finita .

Un espacio subparacompacto (F σ -tamizado) es un espacio topológico en el que cualquier cubierta abierta puede inscribirse con una cubierta cerrada σ-localmente finita

Literatura

Engelking, R. Topología general. — M .: Mir , 1986. — 752 p.