Familia localmente finita de subconjuntos

En topología general, la finitud local es una propiedad de una familia de subconjuntos de un espacio topológico . Esta noción es una generalización natural de la noción de familia finita y juega un papel clave en el estudio de la paracompactidad y la dimensión topológica .

Tenga en cuenta que el término finitud local tiene diferentes significados en otras áreas de las matemáticas.

Definición

Una familia de subconjuntos de un espacio topológico se llama localmente finita si cada punto tiene una vecindad que intersecta como máximo con un número finito de elementos de esta familia, es decir, para todos menos quizás un número finito de índices. Si algún punto tiene una vecindad que corta como máximo uno de los elementos de esta familia, entonces la familia se llama discreta . $S=\{A_{i};i\en I\}$ $X$ $x\en X$ $tu$ $U\cap A_{i}=\emptyset$ $yo en yo$ $x\en X$ $tu$

Obviamente, una familia finita es localmente finita, mientras que una familia localmente finita puede tener cualquier cardinalidad .

Por ejemplo, considere una familia infinita de intervalos en la línea real R (aquí , un entero arbitrario ). Cada punto R tiene una vecindad que corta a lo sumo dos intervalos de la familia, es decir, la familia es localmente finita. ${\ estilo de visualización (n, n + 2)}$ $norte$ ${\ estilo de visualización x \ en}$

En general, una familia contable no necesita ser localmente finita: basta con considerar una familia de intervalos sobre la recta real. ${\ estilo de visualización (-n, n)}$

Propiedades

Para una familia localmente finita , se cumple la siguiente igualdad: $\{A_{i};i\en I\}$ ${\overline {\cup_{i\in I}A_{i}}}=\cup_{i\in I}{\overline {A_{i}}}$

Como es sabido, esta propiedad se cumple para una familia finita de subconjuntos, pero en el caso general este no es el caso. Solo se puede argumentar que . Como consecuencia de la primera propiedad: ${\displaystyle \cup_{i\in I}{\overline {A_{i))}\subseteq {\overline {\cup_i\in I}A_{i))))$

La unión de una familia localmente finita de conjuntos cerrados es cerrada.

Una familia infinita de subconjuntos de un espacio compacto no puede ser localmente finita.

Véase también

Literatura

Aleksandryan R.A., Mirzakhanyan E.A. Topología general. - M. : Escuela Superior, 1979