Espacio metrizable

Un espacio metrizable es un espacio topológico , homeomorfo a algún espacio métrico . En otras palabras, un espacio cuya topología es generada por alguna métrica .

Si tal métrica existe, entonces no es única, excepto en casos triviales: cuando el espacio está vacío o consta de un solo punto. Por ejemplo, la topología de cada espacio metrizable es generada por alguna métrica acotada.

Condiciones necesarias para la metrizabilidad

En un espacio metrizable, se cumplen fuertes axiomas de separabilidad : son normales e incluso colectivamente normales .
Todo espacio metrizable es paracompacto .
Todos los espacios metrizables satisfacen el primer axioma de contabilidad .
Para cualquier espacio metrizable , el número de Suslin , el número de Lindelöf , la densidad , la dispersión , la extensión y el peso son los mismos .

Una condición suficiente para la metrizabilidad

Todo espacio normal (e incluso todo espacio regular ) con base contable es metrizable. ( P. S. Uryson y A. N. Tikhonov )

Condiciones equivalentes de metrizabilidad

El primer criterio general para la metrizabilidad de un espacio fue propuesto en 1923 por PS Aleksandrov y PS Uryson . Sobre esta base, se desarrollaron los siguientes dos criterios más perfectos para la metrizabilidad:

un espacio es metrizable si y sólo si es colectivamente normal y tiene un conjunto contable y refinador de cubiertas abiertas ;
(Criterio de Stone-Arkhangelsky) Un espacio es metrizable si y sólo si tiene un conjunto fundamental contable de cubiertas abiertas y satisface el axioma de separabilidad. En este caso, el conjunto de cubiertas abiertas del espacio se llama fundamental si para cada punto , cada una de sus vecindades, existe una cubierta y una vecindad del punto tal que cada elemento de la cubierta que intersecta con está contenido en . $T_{1}$ $X$ $x\en X$ $U_x$ ${\ matemática P}$ $Buey$ $X$ ${\ matemática P}$ $Buey$ $U_x$

Otro concepto importante, la finitud local, es la base de los criterios generales de metrización.

El criterio de Nagata-Smirnov: Un espacio es metrizable si y solo si es regular y tiene una base que se descompone en un conjunto contable de familias de conjuntos localmente finitas. $X$

El criterio de Bing es similar, pero usa familias discretas de conjuntos en lugar de conjuntos localmente finitos. Las variantes convenientes de los criterios de metrizabilidad básicos anteriores están relacionadas con los conceptos de una base uniforme y una base regular. La base del espacio se llama regular (uniforme) si para cualquier punto y cualquiera de sus vecindades existe una vecindad de este punto tal que el número de elementos de la base que se cortan al mismo tiempo y el complemento a es finito (respectivamente, si el conjunto de elementos tal que es finito). ${\ matemática B}$ $X$ $x\en X$ $Buey$ $U_x$ ${\ matemática B}$ $U_x$ $Buey$ $\Omega \in {\mathcal B}$ $\Omega \ni x$ $\Omega \not \subconjunto O_{x}$

Un espacio es metrizable si y solo si es colectivamente normal y tiene una base uniforme. $X$
Para que un espacio sea metrizable es necesario y suficiente que tenga una base regular. $T_{1}$

Según el teorema de Kovalsky, el grado contable del erizo de espinas (por ) es el espacio universal para todos los espacios de peso metrizables . Así, un espacio es metrizable si y sólo si es homeomorfo a un subespacio de grado numerable de un erizo de alguna espinilla . [una] $\mathfrak{m}$ ${\mathfrak {m}}\geq \aleph_{0}$ $\mathfrak{m}$ $\mathfrak{m}$

Casos especiales

Los criterios de metrización logran la simplicidad en una serie de clases especiales de espacios. Así, para que un conjunto compacto sea metrizable, es necesaria y suficiente cualquiera de las siguientes tres condiciones: $X$

$X$ tiene una base de conteo ;
$X$ tiene una base numerable por puntos ;
adentro hay una red de conteo ; $X$

Para que el espacio de un grupo topológico sea metrizable, es necesario y suficiente que en el segundo se satisfagan el primer axioma de numerabilidad y el axioma de separabilidad , y entonces el espacio es metrizable por una métrica invariante (por ejemplo, con respecto a multiplicación a la izquierda). $T_{0}$

Acerca de la integridad

No todo espacio metrizable es metrizable por una métrica completa ; tal es, por ejemplo, el espacio de los números racionales . Un espacio es metrizable por una métrica completa si y sólo si es metrizable y Cech completo , es decir, es un conjunto de tipo G δ en algún conjunto compacto que lo contiene. Una propiedad topológica importante de los espacios metrizables por una métrica completa es la propiedad de Baer : la intersección de cualquier familia contable de conjuntos abiertos densos en todas partes es denso en todas partes.

Variaciones y generalizaciones

A los espacios metrizables, los espacios de Morov son los más cercanos en propiedades : espacios completamente regulares con una familia de refinación contable de cubiertas abiertas y espacios de encaje .

Una amplia gama de generalizaciones del concepto de espacio metrizable se obtiene variando los axiomas de la métrica, debilitándolos de una forma u otra y considerando las topologías generadas por tales "métricas". En este camino, se obtienen espacios simetrizables, abandonando el axioma de la desigualdad del triángulo . Los espacios morovianos también encajan en este esquema. Otra generalización importante del concepto de metrizabilidad está relacionada con la consideración de “métricas” con valores en semicampos y otras formaciones algebraicas de carácter general.

Notas

↑ Swardson, MA Una breve prueba del teorema del erizo de Kowalsky . Sociedad Matemática Estadounidense (1 de junio de 1979). Consultado el 12 de julio de 2014. Archivado desde el original el 14 de julio de 2014. (indefinido)

Literatura

Alexandrov, Pavel Sergeevich, Boris Alekseevich Pasynkov. Introducción a la teoría de la dimensión: una introducción a la teoría de los espacios topológicos y la teoría general de la dimensión. - Nauka, Edición principal de literatura física y matemática, 1973.