Lineas paralelas
Las líneas paralelas (del otro griego παράλληλος , literalmente “yendo de lado a lado; yendo a lo largo del otro”) en planimetría son líneas que no se cruzan . En estereometría , dos líneas se llaman paralelas si están en el mismo plano y no se cortan.
En geometría euclidiana
En geometría euclidiana , las líneas paralelas son líneas rectas que se encuentran en el mismo plano y no se cortan [1] . En otra versión de la definición, las líneas coincidentes también se consideran paralelas [2] [3] .
La ventaja de esta última definición es que el paralelismo se convierte en una relación de equivalencia [4] .
Paralelismo de líneas y generalmente se denota de la siguiente manera:![metro](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
![norte](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
Propiedades
- Por cualquier punto que no esté sobre una recta, se puede trazar una recta paralela a la dada, y además, una sola . La última parte de esta afirmación es el famoso quinto postulado de Euclides . El rechazo del quinto postulado conduce a la geometría de Lobachevsky (ver más abajo).
- Si una línea corta a una de las líneas paralelas, entonces corta a la otra (tal línea se llama secante ). En este caso, se forman 8 esquinas, algunos pares característicos de los cuales tienen nombres y propiedades especiales:
- Los ángulos correspondientes son iguales (Fig.1).
- Los ángulos cruzados son iguales (Fig. 2).
- Los ángulos internos de un lado suman 180° (Fig.3).
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Fig.1: Los ángulos correspondientes son iguales, .
![{\ estilo de visualización \ alfa = \ alfa _ {1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28a0fe9c3a48ded34bb437c5500026d9438d968d) |
Fig.2: Los ángulos cruzados internos son iguales, .
![{\ estilo de visualización \ alfa = \ gamma _ {1))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e16ff917e8cef8cd731accb2ea1ff659dc72c2) |
Fig.3: Las esquinas de un lado son opcionales, .
![{\ estilo de visualización \ alfa + \ delta _ {1} = 180 ^ {\ circ}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34a01ceb6f3d42f65d4b1c492ec7a2910f0a9961) |
- Si consideramos las líneas coincidentes como paralelas, entonces el paralelismo será una relación de equivalencia binaria que divide todo el conjunto de líneas en clases de líneas paralelas entre sí.
- El conjunto de puntos de un plano situado a una distancia fija de una recta dada, a un lado de ella, es una recta paralela a la recta dada.
Construcción de líneas paralelas
La construcción de dos rectas paralelas en un plano utilizando un compás y una regla se puede dividir en varias etapas:
- Construcción de una línea , con respecto a la cual desea construir una línea paralela.
![a](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
- Construcción de una recta perpendicular a una recta (ver construcción de una perpendicular ).
![b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
![a](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
- Construcción de una recta perpendicular a la recta b, y no coincidente con la recta (similar a la construcción de una recta ).
![C](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
![a](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
![b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
En estereometría
En planimetría , dos líneas distintas se cruzan o son paralelas. En estereometría , es posible una tercera opción: las líneas pueden no intersecarse, ya que no se encuentran en el mismo plano. Tales líneas se llaman líneas oblicuas .
En la geometría de Lobachevsky
En la geometría de Lobachevsky en el plano, por un punto exterior a una recta dada , pasa un conjunto infinito de rectas que no se cortan . Una línea recta se llama línea recta isósceles en la dirección de a si:
![C](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029)
![AB](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04153f9681e5b06066357774475c04aaef3a8bd)
![AB](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04153f9681e5b06066357774475c04aaef3a8bd)
![CE](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ad8d379d96dc8b0c31a7f8006b5768ff0b2fe4)
![AB](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04153f9681e5b06066357774475c04aaef3a8bd)
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
- los puntos y se encuentran en el mismo lado de la línea ;
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![mi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
![C.A.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b930d133ca536a071bec52a9acc4b05482890d53)
- la recta no interseca a la recta , pero todo rayo que pasa dentro del ángulo interseca al rayo .
![CE](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ad8d379d96dc8b0c31a7f8006b5768ff0b2fe4)
![AB](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04153f9681e5b06066357774475c04aaef3a8bd)
![AS](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0762e89c07a9077b9cc619af2a4ecfc1c1bcd9c)
![AB](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04153f9681e5b06066357774475c04aaef3a8bd)
Del mismo modo, se define una línea recta, isósceles en la dirección de a .
![AB](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04153f9681e5b06066357774475c04aaef3a8bd)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
Las líneas equiláteras también se llaman asintóticamente paralelas o simplemente paralelas . Todas las demás rectas que no cortan a ésta se llaman ultraparalelas o divergentes [5] .
Propiedades
- Las rectas paralelas divergentes tienen una sola perpendicular común.
- Esta perpendicular conecta el par de puntos más cercano en estas líneas.
- A pesar del hecho de que las líneas asintóticamente paralelas no se cruzan, en cualquier par de líneas asintóticamente paralelas se pueden elegir puntos arbitrariamente cercanos.
Véase también
Notas
- ↑ Líneas paralelas // Gran enciclopedia soviética : [en 30 volúmenes] / cap. edición A. M. Projorov . - 3ra ed. - M. : Enciclopedia soviética, 1969-1978.
- ↑ Zemlyakov A. N. Enfoque axiomático de la geometría (tesis) // Educación matemática. - 2001. - N° 3 (18) . - S. 4-21 .
- ↑ Hadamard J. Geometría elemental . - M. , 1948. - S. 52 .
- ↑ Shikhanovich Yu. A. Introducción a las matemáticas modernas (Conceptos iniciales). - M. : Nauka, 1965. - S. 259. - 376 p.
- ↑ Manual de Matemáticas (enlace inaccesible) . Consultado el 8 de julio de 2016. Archivado desde el original el 23 de septiembre de 2016. (indefinido)
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