Primero y segundo teoremas de Helly

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Existe una correspondencia biunívoca entre las funciones de distribución y un conjunto de sus funciones características . ${\ estilo de visualización \ izquierda \ {F_ {\ xi} \ izquierda (x \ derecha) \ derecha \))$ ${\ estilo de visualización \ izquierda \ {f_ {\ xi} \ izquierda (t \ derecha) \ derecha \))$

La inclusión de los teoremas de Helly muestra que esta correspondencia no es solo uno a uno , sino también mutuamente continua .

Primero y segundo teoremas de Helly

Primer teorema de Helly

De cualquier secuencia de funciones de distribución, se puede elegir una subsecuencia débilmente convergente . ${\ estilo de visualización \ izquierda \ {F_ {x} \ derecha \}}$

Segundo teorema de Helly

Si es una función continua acotada en la línea y luego ${\ estilo de visualización g \ izquierda (x \ derecha)}$ $F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right),F\left(\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1,$

\lim_{n\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int_{ -\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF\left(x\right)

Demostración del primer teorema de Helly

Sea un conjunto contable denso en todas partes de la recta . $D=\izquierda\{x_{k}\derecha\}$

De la sucesión acotada elegimos una subsucesión convergente , cuyo límite denotamos $0\leq F_{n}\left(x_{1}\right)\leq 1$ ${\ estilo de visualización F_ {1n} \ izquierda (x_ {1} \ derecha)}$ ${\ estilo de visualización F \ izquierda (x_ {1} \ derecha).}$

De la sucesión acotada, elegimos una subsucesión convergente , y así sucesivamente. $0\leq F_{1n}\left(x_{2}\right)\leq 1$ $F_{2n}\left(x_{2}\right)\rightarrow F\left(x_{2}\right)$

Luego, elija una subsecuencia diagonal , para la cual, para cualquier punto $f_{nn}\left(x\right)$ $F_{nn}\left(x\right)\rightarrow F\left(x\right)$ $x_{k}\en D.$

Por el lema, esto implica $F_{nn}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right).$

Lema

Si en un conjunto denso en todas partes en un conjunto directo , entonces $F_{n}\left(x\right)\rightarrow F\left(x\right)$ $D$ $F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right).$

Nota

$F\izquierda(x\derecha)$ puede no ser una función de distribución . Por ejemplo, si en y luego $F_{n}\left(x\right)=0$ ${\ estilo de visualización x<n}$ $F_{n}\left(x\right)=1$ ${\ estilo de visualización x \ geq n,}$ $F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)=0.$

Prueba del segundo teorema de Helly

Sean puntos de continuidad Probaremos primero que $a<b$ $F\izquierda(x\derecha)$

\lim _{n\rightarrow \infty}\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^ {b}g\izquierda(x\derecha)dF\izquierda(x\derecha)

deja _ Dividamos por puntos de continuidad de la función en segmentos tales que por puntos . $\varepsilon >0$ $\izquierda[a,b\derecha]$ $a=x_{0},x_{1},...,x_{N-1},x_{N}=b$ $F\izquierda(x\derecha)$ ${\ estilo de visualización \ izquierda [x_ {k-1}, x_ {k} \ derecha]}$ $\left|g\left(x\right)-g\left(x_{k}\right)\right|<\varepsilon$ ${\ estilo de visualización x \ en \ izquierda [x_ {k-1}, x_ {k} \ derecha]}$

Esto se puede hacer, ya que es uniformemente continuo en , y los puntos de continuidad son densos en todas partes. ${\ estilo de visualización g \ izquierda (x \ derecha)}$ $\izquierda[a,b\derecha]$ $F\izquierda(x\derecha)$

Definamos una función escalonada .

g_{\varepsilon}\left(x\right)=g\left(x_{k}\right)

en _

{\ estilo de visualización x \ en \ izquierda (x_ {k-1}, x_ {k} \ derecha]}

Después

\left|\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{a}^{b}g\left( x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \int _{a}^{b}\left|g\left(x\right)-g_{\varepsilon }\left(x\right )\right|dF_{n}\left(x\right)+\left|\int _{a}^{b}g_{\varepsilon}dF_{n}-\int _{a}^{b}g_ {\varepsilon}dF\right|+\int _{a}^{b}\left|g\left(x\right)-g_{\varepsilon}\left(x\right)\right|dF\left( x\right)\leq

\leq 2\varepsilon +{\mathsf {M}}\left[\sum _{k=1}^{N}\left[F_{n}\left(x_{k}\right)-F \left(x_{k}\right)-\left(F_{n}\left(x_{k-1}\right)-F\left(x_{k-1}\right)\right)\right] \Correcto].

donde _ ${\mathsf {M}}=sup_{x}\left|g\left(x\right)\right|.$

Para , el último término puede hacerse arbitrariamente pequeño, de donde se sigue $n\rightarrow\infty$

\lim _{n\rightarrow \infty}\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^ {b}g\izquierda(x\derecha)dF\izquierda(x\derecha).

como prueba

\lim_{n\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int_{ -\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF\left(x\right)

elige tal que y y para que los puntos sean puntos de continuidad $X>0$ $F\izquierda(-X\derecha)<{\frac {\varepsilon}{4))$ $1-F\left(X\right)<{\frac {\varepsilon}{4))$ ${\ estilo de visualización \ pm X}$ ${\ estilo de visualización F \ izquierda (x \ derecha).}$

Entonces, dado que uno puede elegir tal que para y $F_{n}\left(\pm X\right)\rightarrow F\left(\pm X\right)$ $n_ {0}$ $n\geq n_{0},F_{n}\left(-X\right)<{\frac {\varepsilon}{2))$ $1-F_{n}\left(X\right)<{\frac {\varepsilon}{2)).$

Estimemos la diferencia

\left|\lim _{n\rightarrow \infty}\int _{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\ int _{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty}\int_{ -X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left( x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right| +\izquierda|\int _{\izquierda|x\derecha|>X}^{}g\izquierda(x\derecha)dF\izquierda(x\derecha)\derecha|\leq

\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\ int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+{\mathsf {M}}\varepsilon +{\frac {{\mathsf {M} }\varepsilon}{2}}.

Con base en esto, concluimos que el lado derecho $\lim _{n\rightarrow \infty}\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^ {b}g\izquierda(x\derecha)dF\izquierda(x\derecha)$

\left|\lim _{n\rightarrow \infty}\int _{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\ int _{-\infty}^{\infty}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty}\int_{ -X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left( x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right| +\izquierda|\int _{\izquierda|x\derecha|>X}^{}g\izquierda(x\derecha)dF\izquierda(x\derecha)\derecha|\leq

\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\ int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+{\mathsf {M}}\varepsilon +{\frac {{\mathsf {M} }\varepsilon}{2}}.

puede hacerse arbitrariamente pequeño, lo que prueba el teorema.

Véase también

Teorema del límite directo e inverso

Literatura

Sevastyanov V. A. Curso de Teoría de la Probabilidad y Estadística Matemática. - 1982. - 254 págs.