Teorema del límite directo e inverso

Los más importantes desde el punto de vista de las aplicaciones de las funciones características a la derivación de fórmulas asintóticas de la teoría de la probabilidad son dos teoremas de los límites: directo e inverso. Estos teoremas establecen que la correspondencia que existe entre las funciones de distribución y las funciones características no es solo biunívoca, sino también continua.

Teorema del límite directo e inverso

Teorema del límite directo

Si la secuencia de funciones de distribución converge débilmente a la función de distribución para , entonces la secuencia de funciones características correspondientes converge puntualmente a la función característica . ${\ estilo de visualización F_ {n}}$ $F$ $n\rightarrow\infty$ ${\ estilo de visualización \ izquierda \ {f_ {n} \ derecha \))$ $F$

En otras palabras

Si , entonces en cada punto .

F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)

f_{n}\left(t\right)\rightarrow f\left(t\right)

t

Teorema del límite inverso

Deje que una sucesión de funciones características converja puntualmente en una función continua en el punto 0. Entonces la sucesión de funciones de distribución correspondientes converge débilmente a la función y es la función característica correspondiente a la función de distribución . ${\ estilo de visualización \ izquierda \ {f_ {n} \ derecha \))$ $F$ ${\ estilo de visualización F_ {n}}$ $F$ $F$ $F$

Demostración del teorema del límite directo

La demostración de este teorema se deriva directamente del segundo teorema de Helly y de la definición de la función característica:

Como función , tomamos , y observamos y como parámetros. $gramo$ $g\left(x\right)=e^{itx},x\in R$ $i$ $t$

Nota

La convergencia puntual de la secuencia de funciones características en este teorema se puede reemplazar por convergencia uniforme en cualquier conjunto compacto de . $R$

Prueba del teorema del límite inverso

Sea una sucesión de funciones de distribución correspondiente a la sucesión de funciones características . Del primer teorema de Helly se deduce que existe una subsecuencia débilmente convergente ${\ estilo de visualización F_ {n}}$ $f_{{n}}$

\left\{F_{n_{k}}\right\}\subconjunto \left\{{F_{n}}\right\},

tal que

F_{n_{k}}\Flecha derecha F_{n}

Probemos que es una función de distribución. Para ello basta demostrar que $F$ $F\left(+\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1$

Para demostrarlo, necesitamos la siguiente desigualdad: sea una variable aleatoria arbitraria su función característica, entonces para cualquier y $\xi$ $F$ ${\ estilo de visualización \ tau> 0}$ $x>0$

P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau}}\int _{-\tau} ^{\tau}f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{\tau x}}}{1-{\frac {1}{\tau x}}}}

Sea , entonces la desigualdad toma la forma ${\ estilo de visualización \ tau x = 2}$

P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau}}\int _{-\tau} ^{\tau}f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{2}}}{1-{\frac {1}{2}}}}=2\left|{ \frac {1}{2\tau}}\int _{-\tau}^{\tau}f\left(t\right)dt\right|-1

Demostremos la desigualdad . De la definición de la función característica y del teorema de Fubini se sigue $P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau}}\int _{-\tau} ^{\tau}f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{\tau x}}}{1-{\frac {1}{\tau x}}}}$

\left|{\frac {1}{2\tau}}\int _{-\tau}^{\tau}f\left(t\right)dt\right|=\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }{\mathsf {M}}e^{it\xi }dt\right|=\left|{\frac {1} {2\tau }}{\mathsf {M}}\int _{-\tau }^{\tau }e^{it\xi }dt\right|=\left|{\frac {1}{2\ tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \xi }}{\xi }}\right|=

=\left|{\frac {1}{\tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \xi }}{\xi }}\right|I_{\left \{\left|\xi \right|\leq x\right\}}+\left|{\frac {1}{\tau}}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \ xi )){\xi ))\right|I_{\left\{\left|\xi \right|>x\right\))\leq {\mathsf {M))\left|{\frac {\sin {\tau \xi }}{\tau \xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|\leq x\right\}}+{\mathsf {M}}\left| {\frac {\sin {\tau \xi }}{\tau \xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|>x\right\}}\leq P\left( \left|\xi \right|\leq x\right)+{\frac {1}{\tau x}}\left(1-P\left(\left|\xi \right|\leq x\right) \Correcto)

Dado que la función es continua en un punto y es un límite puntual de las funciones características , entonces para cualquiera existe tal que para todas las que satisfacen la desigualdad $F$ ${\ estilo de visualización 0}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda \ {f_ {n} \ derecha \))$ ${\ estilo de visualización f \ izquierda (0 \ derecha) = 1}$ $\varepsilon >0$ ${\ estilo de visualización \ tau _ {0}> 0}$ $\tau$ ${\ estilo de visualización 0<\ tau \ leq \ tau _ {0},}$

\left|{\frac {1}{2\tau}}\int _{-\tau}^{\tau}f\left(t\right)dt\right|>1-{\frac { \varepsilon }{4}}

De lo que sigue para todos y para $f_{n}\flecha derecha f$ $n\rightarrow\infty$ ${\ estilo de visualización n> n_ {0))$ ${\ estilo de visualización \ tau \ en (0; \ tau _ {0}],}$

\left|{\frac {1}{2\tau}}\int _{-\tau}^{\tau}f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1} {2\tau}}\int _{-\tau}^{\tau}f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon}{4}}

De las desigualdades se sigue que para cualquiera y tal que $\left|{\frac {1}{2\tau}}\int _{-\tau}^{\tau}f\left(t\right)dt\right|>1-{\frac { \varepsilon }{4}}$ $\left|{\frac {1}{2\tau}}\int _{-\tau}^{\tau}f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1} {2\tau}}\int _{-\tau}^{\tau}f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon}{4}}$ ${\ estilo de visualización n> n_ {0))$ $\tau$ ${\ estilo de visualización 0<\ tau \ leq \ tau _ {0))$

\left|{\frac {1}{2\tau}}\int _{-\tau}^{\tau}f_{n}\left(t\right)dt\right|>1-{ \frac{\varepsilon}{2}}

De las desigualdades y tenemos $\left|{\frac {1}{2\tau}}\int _{-\tau}^{\tau}f_{n}\left(t\right)dt\right|>1-{ \frac{\varepsilon}{2}}$ $\left|{\frac {1}{2\tau}}\int _{-\tau}^{\tau}f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1} {2\tau}}\int _{-\tau}^{\tau}f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon}{4}}$

F_{n_{k}}\left({\frac {2}{\tau }}\right)-F{n_{k}}\left(-{\frac {2}{\tau }} -0\right)\geq P\left(\left|\varepsilon _{n_{k))\right|\leq {\frac {\tau}{2))\right)\geq 2\left(1- {\frac {\varepsilon}{2}}\right)-1=1-\varepsilon

para todos y . De la última desigualdad, debido a la arbitrariedad , se obtiene ${\ estilo de visualización n> n_ {0))$ ${\ estilo de visualización 0<\ tau \ leq \ tau _ {0))$ $\tau$ $\varepsilon$

F\left(+\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1

es decir , la función de distribución. Por el teorema del límite directo, se sigue de lo que se ha demostrado $F$

f_{n_{k}}\left(t\right){\underset {n_{k}\rightarrow \infty }{\rightarrow }}\int _{-\infty }^{\infty }e^ {itx}dF\izquierda(x\derecha),t\in \mathbb {R}

Pero según el teorema

f_{n}\left(t\right){\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}f\left(t\right),t\in \mathbb {R}

Como consecuencia

f\left(t\right)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}dF\left(x\right)

es la función característica correspondiente a la función de distribución

F

Probemos ahora que

F_{n}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Rightarrow }}F

Supongamos lo contrario , dejemos

F_{n}\nFlecha derecha F

en . Entonces existe , y y son funciones de distribución

n\rightarrow\infty

\left\{F_{m_{k}}\right\}\subconjunto \left\{F_{n}\right\},F_{m_{k}}\Rightarrow F^{*},F^ {*}\neqF

F

F^{*}

Por el teorema del límite directo, tenemos

f_{n_{k}}\left(t\right)\rightarrow f\left(t\right),f_{m_{k}}\left(t\right)\rightarrow f^{*}\ izquierda(t\derecha),k\flecha derecha\infty

y por el teorema de unicidad , pero esto no puede ser, ya que $f\left(t\right)\neq f^{*}\left(t\right)$

f_{n}\left(t\right){\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}f\left(t\right)

Como consecuencia

f\left(t\right)=f^{*}\left(t\right)

El teorema ha sido probado.

Literatura

Lazakovich N.V., Stashulenok S.P., Yablonsky O.L. Curso de probabilidad. - 2003. - 322 págs.
Sevastyanov B.A. Curso de Teoría de la Probabilidad y Estadística Matemática. - 1982. - 244 págs.

Teorema del límite directo e inverso