Raíces de la unidad

Las raíces n- ésimas de la unidad son las raíces complejas del polinomio , donde . En otras palabras, estos son números complejos, cuya n- ésima potencia es igual a 1. En álgebra general , las raíces de un polinomio también se consideran no solo en un complejo, sino también en otro campo arbitrario , cuya característica no es un divisor del grado del polinomio [1] . $x^n-1$ $n\geqslant 1$ ${\ estilo de visualización x^{n}-1}$ $pags$ $norte$

Las raíces de unidad son muy utilizadas en matemáticas, especialmente en teoría de números , la transformada rápida de Fourier [2] , la teoría de extensiones de campo , la teoría de construcciones con compás y regla , representaciones de grupos .

Presentación

Representamos la unidad compleja en forma trigonométrica:

1=\cos 0+i\sin 0.

Entonces, de acuerdo con la fórmula de Moivre , obtenemos una expresión para la raíz -ésima del grado n-ésimo de la unidad : $k$ $Reino Unido}$

u_{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n))+i\sin {\frac {2\pi k}{n)),\quad k=0,1,\ puntos, n-1.

Las raíces de la unidad también se pueden representar en forma exponencial:

u_{k}=e^{{\frac {2\pi k}{n}}i},\quad k=0,1,\dots,n-1.

De estas fórmulas se sigue que las raíces n-ésimas de la unidad son siempre exactamente , y todas son diferentes. $norte$

Ejemplos

Raíces cúbicas de la unidad:

\left\{1,{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}} \Correcto\}.

4ta raíces de unidad:

\left\{1,+i,-1,-i\right\}.

Para la raiz 5 existen 4 generadores cuyas potencias cubren todas las raices de 5 grado:

{\Big \{}e^{\frac {2\pi ik}{5}}\,{\Big |}\,k\in \{1,2,3,4\}{\Big \))=\izquierda\{\izquierda.{\frac {u{\sqrt {5}}-1}{4}}+v{\sqrt {\frac {5+u{\sqrt {5}}} {8}}}i\,\right|\,u,v\in \{-1,1\}\right\}.

Para la raíz sexta, solo hay dos generadores ( y ): $tu_{1}$ ${\ estilo de visualización u_ {5}}$

\left\{{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\} .

Propiedades

Propiedades geométricas

El módulo de cada raíz es 1. En el plano complejo , las raíces unitarias forman los vértices de un polígono regular inscrito en la circunferencia unitaria . Uno de los vértices es siempre una unidad compleja, pueden ser dos raíces reales, si son pares (uno y menos uno), o una (uno), si son impares. En cualquier caso, hay un número par de raíces no reales , están situadas simétricamente respecto al eje horizontal. Esto último significa que si es raíz de unidad, entonces su número conjugado también es raíz de unidad. ${\ estilo de visualización 1+0i.}$ $norte$ $norte$ $Reino Unido}$ ${\ Displaystyle {\ overline {u_ {k}}}}$

Sea M un punto arbitrario en el círculo unitario y Entonces la suma de las distancias al cuadrado desde M hasta todas las raíces de la unidad es [3] . ${\ estilo de visualización n> 1.}$ $norte$ $2n$

Propiedades algebraicas

Las raíces de la unidad son números enteros algebraicos .

Las raíces de la unidad forman, por multiplicación, un grupo conmutativo de orden finito . En particular, cualquier potencia entera de una raíz de unidad es también una raíz de unidad. El elemento inverso de cada elemento de este grupo coincide con su conjugado. El elemento neutro del grupo es la unidad compleja. $norte$

El grupo de raíces de la unidad es isomorfo al grupo aditivo de clases de residuos, por lo que se sigue que es un grupo cíclico ; como generador ( antiderivada ) se puede tomar cualquier elemento cuyo índice sea coprimo con . ${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} _ {n}.}$ $Reino Unido}$ $k$ $norte$

Consecuencias:
- el elemento es siempre un primitivo (a menudo se le llama la raíz principal de la unidad); $tu_{1}$
- si es un número primo , entonces los grados de cualquier raíz, excepto , cubren todo el grupo (es decir, todas las raíces, excepto , son antiderivadas); $norte$ $\pm 1$ $\pm 1$
- el número de raíces primitivas es , donde es la función de Euler . $\varfi (n)$ $\varphi$

Si , entonces para cualquier raíz primitiva de la unidad se cumplen las siguientes fórmulas : $n>1$ $tu$

\sum _{k=0}^{n-1}u^{k}={\frac {u^{n}-1}{u-1}}=0,

\prod_{k=1}^{n-1}|1-u_{k}|=n.

Campos circulares

El campo circular , o campo de la división de un círculo de grado n , es un campo generado al sumar al campo de los números racionales la raíz primitiva del enésimo grado de unidad . El campo circular es un subcampo del campo numérico complejo; contiene todas las raíces n-ésimas de la unidad, así como los resultados de las operaciones aritméticas sobre ellas. $K_{n}=\mathbb{Q} (u)$ $\matemáticas {Q}$ $tu$

El estudio de los campos circulares desempeñó un papel importante en la creación y el desarrollo de la teoría de los números enteros algebraicos , la teoría de números y la teoría de Galois .

Ejemplo: consta de números complejos de la forma , donde son números racionales. $K_{3}$ $a+b{\sqrt {3}}\,i$ $a, b$

Teorema de Kronecker-Weber : Toda extensión finita abelianadel campo de los números racionales está contenida en algún campo circular.

Generalizaciones

Las raíces de unidad de grado n pueden definirse no solo para números complejos, sino también para cualquier otro campo algebraico como solución a la ecuación , donde es la unidad del campo . Las raíces de unidad existen en cualquier campo y forman un subgrupo del grupo multiplicativo del campo . Por el contrario, cualquier subgrupo finito de un grupo de campo multiplicativo contiene solo raíces de la unidad y es cíclico [4] . $k$ ${\ estilo de visualización x ^ {n} = 1}$ $una$ $k$ $k$ $k$

Si la característica del campo es distinta de cero, entonces el grupo de raíces de la unidad, junto con cero, forma un campo finito .

Historia

Gauss inició el uso generalizado de las raíces de la unidad como herramienta de investigación . En su monografía " Investigaciones aritméticas " (1801), resolvió por primera vez el antiguo problema de dividir un círculo en n partes iguales con regla y compás (o, lo que es lo mismo, construir un polígono regular de n lados). Usando las raíces de la unidad, Gauss redujo el problema a resolver la ecuación de división del círculo:

x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots +x+1=0.

El razonamiento adicional de Gauss mostró que el problema tiene una solución solo si n puede representarse como . El enfoque gaussiano fue utilizado más tarde por Lagrange y Jacobi . Cauchy aplicó las raíces de la unidad al estudio de un problema más general de resolución de ecuaciones algebraicas con muchas incógnitas (1847) [5] . ${\ estilo de visualización 2^{2^{r}}+1}$

Se descubrieron nuevas aplicaciones de las raíces de la unidad después de la creación del álgebra abstracta a principios del siglo XX . Emmy Noether y Emil Artin utilizaron esta noción en la teoría de extensiones de campo y una generalización de la teoría de Galois [6] .

Véase también

Literatura

Bourbaki N. Álgebra. Polinomios y campos. Grupos ordenados. - M. : Nauka, 1965. - S. 188 y posteriores. — 299 págs.
Van der Waerden B. L. Álgebra. Definiciones, teoremas, fórmulas . - San Petersburgo. : Lan, 2004. - 624 p. — ISBN 5-8114-0552-9 . Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine .
Raíz // Enciclopedia Matemática (en 5 volúmenes). - M .: Enciclopedia soviética , 1982. - T. 3. - S. 15.
Milne, James S. Teoría algebraica de números . Notas del curso (1998). Archivado desde el original el 2 de abril de 2012. (indefinido)

Enlaces

Raíces enésimas complejas de la unidad y solución de ecuaciones.

Notas

↑ Bourbaki, 1965 , pág. 188-189.
↑ Transformada de Fourier discreta . Consultado el 9 de abril de 2013. Archivado desde el original el 18 de junio de 2013. (indefinido)
↑ Duzhin S. V., Chebotarevskii B. D. De adornos a ecuaciones diferenciales. Una introducción popular a la teoría de los grupos de transformación. - Minsk: Escuela Superior, 1988. - S. 34. - 253 p. - (El mundo de la ciencia entretenida). — ISBN 5-339-00101-6 .
↑ Enciclopedia de Matemáticas, 1982 .
↑ ВилейтнерГ. История математики от Декарта до середины XIX столетия . — M. : ГИФМЛ, 1960. — С. 87—89, 380.. — 468 c.
↑ Van der Waerden. Álgebra, 2004 , pág. 150-155 y siguientes.

números algebraicos
Variedades	enteros algebraicos Nodos de Chebyshev Números constructivos el conjunto de Eisenstein enteros gaussianos Anillo Kummer Números de Perron Números Piso-Vijayaraghavan irracionalidad cuadrática ℚ Raíces de la unidad Números de Salem
Específico	constante de Conway 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2