Reconstrucción morse

La cirugía o reordenamiento de Morse es la transformación de variedades suaves que sufre una variedad del nivel de una función suave al pasar por un punto crítico no degenerado ; la construcción más importante en topología diferencial .

El importante papel de la cirugía en la topología de las variedades se explica por el hecho de que permiten destruir "delicadamente" (sin violar una u otra propiedad de una variedad) grupos de homotopía "extra" (la operación "pegar una célula", generalmente utilizado para este propósito en la teoría de la homotopía, instantáneamente sale de la clase de variedades). Casi todos los teoremas de clasificación de estructuras sobre variedades se basan en el estudio de la cuestión de cuándo, para una aplicación de una variedad cerrada en un espacio celular , existe tal bordismo y tal aplicación que , y es una equivalencia de homotopía . La forma natural de resolver este problema es destruir los núcleos de homomorfismos mediante una secuencia de cirugías. ${\ estilo de visualización f: M \ a X}$ $METRO$ $X$ ${\ estilo de visualización (W; M, N)}$ ${\ estilo de visualización F: W \ a X}$ $F|_{M}=f$ ${\ estilo de visualización F | _ {N}: \ a X}$ $f^{*}:\pi_{k}(M)\a \pi_{k}(X)$ (donde están los grupos de homotopía ). Si esto tiene éxito, entonces el mapeo resultante será una equivalencia de homotopía. El estudio de los obstáculos correspondientes (que se encuentran en los llamados grupos Muro ) fue uno de los principales estímulos en el desarrollo de la L-teoría algebraica . $\pi _{k}$

Construcción

Sea una variedad bidimensional suave (sin límite) en la que la esfera bidimensional está incrustada (suavemente) . Supongamos que el paquete normal de una esfera en una variedad es trivial, es decir, que una vecindad tubular cerrada de una esfera en B se descompone en un producto directo , donde es un disco de dimensión . Al elegir tal descomposición, recortamos el interior del vecindario . Se obtiene una variedad cuyo límite se descompone en un producto de esferas. Exactamente el mismo límite tiene la variedad . Al identificar los bordes de estas variedades mediante un difeomorfismo que conserva la estructura del producto directo , obtenemos nuevamente una variedad sin límite, que se denomina resultado de la cirugía de variedades a lo largo de la esfera . $V$ $norte$ $(k-1)$ ${\ Displaystyle S^{k-1}}$ ${\ Displaystyle S^{k-1}}$ $V$ $T$ ${\ Displaystyle S^{k-1}}$ $V$ $T=S^{k-1}\veces D^{n-k+1}$ $D^{n-k+1}$ ${\ estilo de visualización n-k + 1}$ $V$ $T$ $S^{k-1}\veces S^{nk}$ ${\displaystyle D^{k}\veces S^{nk))$ $V'$ $V$ ${\ Displaystyle S^{k-1}}$

Para realizar la cirugía, es necesario establecer una descomposición de la vecindad de la esfera en un producto directo, es decir, la banalización del paquete normal de la esfera en la variedad , mientras que diferentes banalizaciones (riggings) pueden dar resultados significativamente diferentes (incluso homotopía) variedades . $T$ ${\ Displaystyle S^{k-1}}$ ${\ Displaystyle S^{k-1}}$ $V$ $V'$

El número se denomina índice de cirugía y el par se denomina tipo de cirugía. Si se obtiene del tipo de cirugía , entonces se obtiene del tipo de cirugía . Porque , la variedad es la unión disjunta de la variedad (que puede estar vacía en este caso) y la esfera . $k$ ${\ estilo de visualización (k, n-k + 1)}$ $V'$ $V$ $(yo, j)$ $V$ $V'$ ${\ estilo de visualización (j, i)}$ $k=0$ $V'$ $V$ $S^{n}$

Ejemplos

Con y como resultado de la cirugía se obtiene una unión disjunta de dos esferas, y con - un toro . $V=S^{2}$ $k=2$ $k=1$
Para y , se obtiene el producto . $V=S^{3}$ ${\ estilo de visualización k = 2}$ $S^{1}\veces S^{2}$
El caso es aún más complicado: si la esfera se incrusta de forma estándar (gran círculo), entonces, dependiendo de la elección de su banalización del haz normal, se obtienen espacios de lente ; si permitimos el anudado de la esfera , obtenemos un conjunto aún mayor de variedades tridimensionales. $V=S^{3}$ $k=1$ $S^{1}$ $S^{3}$ $S^{1}$

Propiedades

Si es el límite de una variedad bidimensional , entonces será el límite de la variedad obtenido al pegar el mango del índice . $V$ $(n+1)$ $METRO$ $V'$ $METRO'$ $METRO$ $k$
- En particular, si es una función suave en una variedad y son números tales que el conjunto es compacto y contiene un solo punto crítico , que no es degenerado, entonces la variedad se obtiene a partir de la variedad por cirugía del índice , donde es el Índice de Morse del punto crítico . $F$ $METRO$ $a<b$ $f^{{-1}}([a,b])$ $pags$ $V_{b}=f^{-1}(b)$ $V_{a}=f^{-1}(a)$ $k$ $k$ $pags$
- De manera más general, cualquier reordenamiento de la variedad índice define algún bordismo , y en la tríada existe $V'$ $V$ $k$ ${\ estilo de visualización (W; V, V')}$ ${\ estilo de visualización (W; V, V')}$
de esta manera se obtiene una función de Morse que tiene un solo punto crítico de índice y cualquier bordismo en el que exista tal función de Morse. $k$ ${\ estilo de visualización (W; V, V')}$
- De esto (y de la existencia de funciones de Morse sobre tríadas) se sigue que dos variedades son bordantes si y sólo si una de ellas se obtiene de la otra mediante una secuencia finita de cirugías.
Con ciertas precauciones en el manejo de las orientaciones, el resultado de la cirugía en una variedad orientada será nuevamente una variedad orientada.

Variaciones y generalizaciones

La construcción de la cirugía también se puede llevar a cabo para variedades lineales y topológicas por partes.