Bordismo

Bordismo , también bordismo - un término de topología , usado solo o como parte de frases estándar en varios sentidos relacionados, en casi todos ellos en lugar del bordismo anterior se habló de cobordismo , también se conservó la antigua terminología.

Bordismos no orientados

Los bordismos no dirigidos son la variante más simple de los bordismos. Dos variedades suaves de dimensiones cerradas y son bordantes (restringidas u homólogas internamente) si existe una variedad suave de dimensiones compactas (llamada película ) cuyo límite consta de dos variedades y (o más precisamente variedades y difeomorfas, respectivamente, y a través de algunos difeomorfismos y ). El conjunto de variedades bordantes entre sí se llama clases de bordismo , y el triple se llama bordismo (sería más exacto hablar de cinco ). $norte$ $METRO$ $METRO'$ $(n+1)$ $W$ $METRO$ $METRO'$ $M_{0}$ $M_{1}$ $METRO$ $METRO'$ ${\displaystyle g_{0}\dos puntos M\to M_{0))$ ${\displaystyle g_{1}\dos puntos M'\to M_{1))$ ${\ estilo de visualización (W, \;M_{0},\;M_{1})}$ $(W,\;M_{0},\;M_{1},\;g_{0},\;g_{1})$

El conjunto de clases de bordismo de variedades -dimensionales forma un grupo abeliano de unión relativamente desconectada , llamado grupo de bordismo . El cero en él es la clase de los bordismos, que consisten en variedades que son el límite de alguna variedad (otros nombres: - variedad límite , - internamente homóloga o bordante a cero). El elemento inverso a una clase dada de bordismos es esta clase misma (ya que la unión de dos copias es difeomorfa a la frontera del producto directo ). La suma directa de grupos es un anillo escalonado conmutativo cuya multiplicación es inducida por el producto directo de las variedades, con la unidad dada por la clase de bordismo del punto. $norte$ ${\displaystyle\Omega_{n}^{O}}$ $METRO$ $METRO$ ${\displaystyle\Omega_{n}^{O}}$ $METRO$ ${\ estilo de visualización M \ veces [0, \; 1]}$ ${\displaystyle\Omega_{*}^{O}}$ ${\displaystyle\Omega_{n}^{O}}$

Bordismos con estructura adicional

Bordismos orientados

Los bordismos orientados son el tipo más simple de bordismos de variedades cerradas suaves con estructura adicional. Dos variedades orientadas y están orientadas bordantes si son bordantes en el primer sentido, y la película está orientada, y (en la notación anterior) la orientación inducida por la orientación en y (como en partes de la frontera) pasa bajo difeomorfismos y , respectivamente, a la orientación inicial ya la orientación , opuesta a la orientación original . Del mismo modo , se introducen grupos de bordismos orientados y un anillo . $METRO$ $METRO'$ $W$ $W$ $M_{0}$ $M_{1}$ $g_{0}$ $g_{1}$ $METRO$ $METRO'$ ${\displaystyle\Omega_{n}^{O}}$ ${\displaystyle\Omega_{*}^{O}}$ $\Omega_{n}^{SO}$ ${\displaystyle\Omega_{*}^{SO}}$

Otras opciones

Otras variedades de bordismos de variedades con estructura adicional son los importantísimos bordismos de variedades cuasi-complejos (también llamados bordismos unitarios), los bordismos de variedades sobre los que actúa un grupo de transformaciones son bordismos. También hay variantes de un tipo ligeramente diferente, para variedades topológicas o lineales por partes, para complejos de Poincaré , etc. estos últimos sirven para vincular la topología diferencial y la homotopía. $\mathrm {Girar}$ $j$

Propiedades

Dos variedades son bordantes si y solo si tienen los mismos números característicos ( números de Stiefel-Whitney en el caso no orientable y números de Stiefel-Whitney y números de Pontryagin en el caso orientable ).

Historia

El primer ejemplo es el bordismo de variedades enmarcadas introducido en 1938 por Pontryagin , quien demostró que la clasificación de estos bordismos es equivalente a calcular los grupos homotópicos de esferas , y de esta manera pudo encontrar y . Los bordismos no orientados y orientados fueron introducidos en 1951-53 por Rokhlin , quien calculó para . Pontryagin demostró que si dos variedades son bordantes, entonces tienen los mismos números característicos . Posteriormente, resultó que lo contrario también es cierto. ${\ estilo de visualización \ pi _ {i} (S ^ {n})}$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {n + 1} (S ^ {n})}$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {n + 2} (S ^ {n})}$ $\Omega_{n}^{SO}$ $n\leqslant 4$

Literatura

Milnor J., Wallace A. Topología diferencial / Per. De inglés. — M .: Mir, 1972. — 280 p.

Véase también

$h$ -cobordismo