Espacio separable
Un espacio separable (del latín separabilis - separable) es un espacio topológico en el que se puede distinguir un subconjunto denso numerable en todas partes [1] .
Muchos espacios que surgen en cálculo y geometría son separables. Los espacios separables tienen algunas propiedades que son atractivas para los matemáticos, derivadas de la capacidad de representar cada elemento del espacio como el límite de una secuencia de elementos de un conjunto contable, al igual que cualquier número real se puede representar como el límite de una secuencia de numeros racionales
Muchos teoremas pueden probarse constructivamente solo para espacios separables. Un ejemplo típico de tal teorema es el teorema de Hahn-Banach , que se puede probar constructivamente en el caso de espacios separables, pero por lo demás usa el axioma de elección para probarlo .
Propiedades
- La imagen continua de un espacio separable es separable.
- Todo subespacio topológico abierto de un espacio separable es separable.
- A lo sumo, un producto contable de espacios separables es separable. (Además, ya no se requiere que el producto de un número arbitrario de espacios separables sea separable).
- El conjunto de todas las funciones continuas de valor real sobre un espacio separable tiene cardinalidad a lo sumo el continuo (ya que una función continua se define únicamente por sus valores sobre un subconjunto denso).
- La separabilidad en el caso de un espacio métrico es equivalente a tener una base contable de la topología. Un espacio métrico compacto es separable.
- Si un espacio métrico contiene un número incontable de elementos, cuya distancia por pares es mayor que alguna constante positiva, entonces el espacio no es separable.
Ejemplos
- Un espacio topológico discreto es separable si y solo si es, como mucho, contable.
- El espacio de los números reales es separable: aquí los números racionales son un conjunto denso numerable en todas partes . Más generalmente, los espacios y son separables.
- El espacio de funciones continuas sobre un segmento con la métrica de convergencia uniforme (es decir, el espacio ) es separable. Por el teorema de aproximación de Weierstrass , el espacio de polinomios con coeficientes racionales en el mismo intervalo es su subespacio denso contable en todas partes. El teorema de Banach-Mazur establece que cualquier espacio de Banach separable es isomorfo a algún subespacio cerrado .
- Un espacio de Hilbert es separable si y sólo si tiene una base ortonormal numerable .
- El espacio no es separable, ya que contiene un conjunto incontable con distancias por pares iguales a uno (el conjunto de todas las secuencias de ceros y unos).
- Los espacios Hölder no son separables. [2]
![[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![C[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e160d783783c799aae07cf78d250747461af0ff9)
Notas
- ↑ J. Kelly Topología general. - M.: Nauka, 1968 - pág.75
- ↑ Espacios de funciones continuas con un índice de suavidad fraccionario. . Consultado el 26 de marzo de 2013. Archivado desde el original el 23 de marzo de 2017.