Coordenadas de Plucker

Las coordenadas de Plucker son coordenadas (conjuntos de números) que definen subespacios (de dimensión arbitraria) de un vector o espacio proyectivo . Son una generalización de las coordenadas homogéneas de los puntos en el espacio proyectivo y también se definen hasta la multiplicación por un factor arbitrario distinto de cero. Introducido por primera vez por Plücker en el caso particular de las líneas proyectivas en el espacio proyectivo tridimensional, que también corresponde al caso de los espacios vectoriales. $METRO$ $L$ $\dim M=2$ ${\ estilo de visualización \ dim L = 4}$

Definición en coordenadas

Sea el subespacio -dimensional del espacio vectorial -dimensional . Para determinar las coordenadas de Plücker del subespacio, elegimos una base arbitraria en y una base arbitraria en . Cada vector tiene coordenadas en la base , es decir, . Escribiendo las coordenadas de los vectores como cadenas, obtenemos la matriz $METRO$ $metro$ $norte$ $L$ $METRO$ $e_{1},\;\ldots,\;e_{n}$ $L$ $a_{1},\;\ldots,\;a_{m}$ $METRO$ $ai}$ $e_{1},\;\ldots,\;e_{n}$ $(a_{i1},\;\ldots,\;a_{in})$ ${\displaystyle a_{i}=a_{i1}e_{1}+\ldots +a_{in}e_{n))$ $a_{1},\;\ldots,\;a_{m}$

A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},

cuyo rango es . Denote por el menor de la matriz que consta de columnas con números que toman valores de a . Los números no son independientes: si el conjunto de índices se obtiene a partir de una permutación , entonces se produce la igualdad , donde el signo más o menos corresponde a si la permutación es par o impar. Considerado hasta la multiplicación por un factor común distinto de cero, el conjunto de números para todos los conjuntos ordenados de índices que toman valores de a se denomina coordenadas de Plücker del subespacio . $metro$ $M_{i_{1},\;\ldots,\;i_{m))$ $A$ ${\displaystyle i_{1},\;\ldots,\;i_{m))$ $una$ $norte$ $M_{i_{1},\;\ldots,\;i_{m))$ $(i_{1},\;\ldots,\;i_{m})$ $(j_{1},\;\ldots,\;j_{m})$ ${\ estilo de visualización \ sigma \ en S_ {m}}$ $M_{i_{1},\;\ldots,\;i_{m}}=\pm M_{j_{1},\;\ldots,\;j_{m}}$ $\sigma$ ${\displaystyle C_{n}^{m))$ $p_{i_{1},\;\ldots,\;i_{m}}=M_{i_{1},\;\ldots,\;i_{m}}$ ${\displaystyle i_{1}<\ldots <i_{m))$ $una$ $norte$ $METRO$

Propiedades

1. Independencia de la elección de la base .

Si se elige otra base en el subespacio , entonces el nuevo conjunto de coordenadas de Plücker se verá como , donde hay algún factor distinto de cero. De hecho, la nueva base está relacionada con las viejas relaciones , y el determinante de la matriz es distinto de cero. Según la definición de coordenadas de Plücker y el teorema del determinante del producto de matrices, tenemos , donde . $METRO$ ${\displaystyle a'_{1},\;\ldots,\;a'_{m))$ $p'_{i_{1},\;\ldots,\;i_{m))$ $p'_{i_{1},\;\ldots,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots,\;i_{m}}$ $C$ ${\displaystyle a'_{i}=a'_{i1}a_{1}+\cdots +a'_{im}a_{m))$ ${\ estilo de visualización (a'_{ij})}$ $p'_{i_{1},\;\ldots,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots,\;i_{m}}$ $c=\det(a'_{ij})$

2. Grassmanniano .

Asignando a cada subespacio -dimensional un conjunto de sus coordenadas de Plücker , asociamos algún punto del espacio proyectivo de dimensión . El mapa así construido es inyectivo , pero no sobreyectivo (es decir, su imagen no coincide con la totalidad del espacio ). La imagen del conjunto de todos los subespacios dimensionales del espacio dimensional bajo el mapeo es una variedad algebraica proyectiva bidimensional en , llamada variedad de Grassmann o Grassmannian y denotada por o . $metro$ $METRO$ $p_{i_{1},\;\ldots,\;i_{m))$ $METRO$ $PAGS$ $C_{n}^{m}-1$ $gramo$ $PAGS$ $metro$ $norte$ $gramo$ ${\ estilo de visualización m (nm)}$ $PAGS$ ${\ estilo de visualización G (m, \; n)}$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {Gr} _ {m} (L)}$

3. Relaciones plücker .

El criterio por el cual se puede determinar si un punto dado de un espacio proyectivo pertenece a un grassmanniano son las llamadas relaciones de Plücker : $PAGS$ ${\ estilo de visualización G (m, \; n)}$

\sum _{r=1}^{m+1}(-1)^{r}p_{j_{1},\;\ldots,\;j_{m-1}k_{r)) \cdot p_{k_{1},\;\ldots,\;{\breve {k_{r))},\;\ldots,\;k_{m+1}}=0,\quad \forall \, (j_{1},\;\ldots,\;j_{m-1}),\quad \forall \,(k_{1},\;\ldots,\;k_{m+1}),

donde todos los índices en los conjuntos y toman valores de a , el signo denota la omisión del índice debajo de él. Esta suma se obtiene si se quita un índice del conjunto de uno en uno y se asigna este índice a la derecha del conjunto , luego se multiplican los dos números resultantes (nótese que estos números son menores de la matriz , pero no necesariamente coordenadas de Plücker, ya que los conjuntos de sus índices no están necesariamente ordenados de forma ascendente) y luego se toma la suma de todos esos productos con signos alternos. Las relaciones de Plücker se cumplen para cada subespacio dimensional de . Y viceversa, si las coordenadas homogéneas , , de algún punto del espacio proyectivo satisfacen estas relaciones, entonces este punto, cuando se mapea , corresponde a algún subespacio de , es decir, pertenece a . $(j_{1},\;\ldots,\;j_{m-1})$ $(k_{1},\;\ldots,\;k_{m+1})$ $una$ $norte$ ${\breve{))$ $(k_{1},\;\ldots,\;k_{m+1})$ $(j_{1},\;\ldots,\;j_{m-1})$ $p_{\alpha _{1},\;\ldots,\;\alpha _{m))=M_{\alpha _{1},\;\ldots,\;\alpha _{m))$ $A$ $metro$ ${\ estilo de visualización M \ subconjunto L}$ $p_{i_{1},\;\ldots,\;i_{m))$ ${\displaystyle i_{1}<\ldots <i_{m))$ $PAGS$ $gramo$ ${\ estilo de visualización M \ subconjunto L}$ ${\ estilo de visualización G (m, \; n)}$

En el lenguaje de las matrices, esto significa: si los números satisfacen las relaciones de Plücker, entonces existe una matriz para la cual son menores de orden máximo, y si no, entonces no existe tal matriz. Eso resuelve el problema de la posibilidad de restaurar una matriz desde sus menores de máximo orden, hasta una transformación lineal de filas. $p_{i_{1},\;\ldots,\;i_{m))$

Ejemplo

En el caso y tenemos , y por lo tanto, cada plano en el espacio vectorial de 4 dimensiones tiene coordenadas de Plücker: , , , , , . Eligiendo una base en el plano tal que y , obtenemos la matriz $n=4$ $metro=2$ $C_{4}^{2}=6$ $METRO$ $6$ $p_{12}$ $p_{13}$ ${\ Displaystyle p_ {14}}$ $p_{23}$ $p_{24}$ ${\ Displaystyle p_ {34}}$ $METRO$ ${\displaystyle a_{1},\;a_{2))$ $a_{1}=e_{1}$ $a_{2}=e_{2}$

A={\begin{pmatrix}1&0&\alpha &\beta \\0&1&\gamma &\delta \\\end{pmatrix)),

de donde encontramos:

{\ estilo de visualización p_ {12} = 1}

, , , , , .

p_{13}=\gamma

p_{14}=\delta

p_{23}=-\alpha

p_{24}=-\beta

p_{34}=\alpha \delta -\beta \gamma

Evidentemente, hay una relación

p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}=0

que se conserva cuando todos se multiplican por cualquier factor común, es decir, no depende de la elección de la base. Esta es la relación de Plücker, que define una cuádrica proyectiva en un espacio proyectivo de 5 dimensiones. $p_{i_{1}i_{2))$ ${\ estilo de visualización G (2, \; 4)}$

Literatura

Kartan E. Sistemas diferenciales externos y sus problemas geométricos. - M. : Editorial MSU, 1962.
Zelikin MI Espacios homogéneos y la ecuación de Riccati en el cálculo de variaciones. - M. : Factorial, 1998.
Hodge V., Pido D. Métodos de geometría algebraica. - T. 1. - M. : IL, 1954. (Aquí las coordenadas de Plücker se llaman coordenadas de Grassmann).
Shafarevich I. R., Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría. — M. : Fizmatlit, 2009.
Casas-Alvero E. Geometría Proyectiva Analítica. - : Sociedad Matemática Europea, 2014.