Ondas acústicas superficiales en piezoeléctricos

Las ondas acústicas de superficie en los piezoeléctricos son ondas elásticas que se propagan cerca de la superficie de un piezoeléctrico ( ondas de Rayleigh ) o en películas piezoeléctricas delgadas (las ondas Lamb se observan cuando el espesor del sustrato es comparable a la longitud de onda), acompañadas por la modulación del campo eléctrico para piezoeléctricamente activas. direcciones. El movimiento de las partículas medianas para ambos tipos de ondas es elíptico. La amplitud de las ondas de Rayleigh disminuye con la distancia a la superficie y puede considerarse como una onda amortiguada. El método de generación de SAW en piezoeléctricos utilizando un transductor de peine interdigitado se propuso en 1965 [1], lo que ha permitido encontrar una amplia aplicación en el procesamiento de señales de alta frecuencia, líneas de retardo, sensores y, más recientemente, para la manipulación de partículas en microcanales.

Fundamentos teóricos

En un medio lineal, las ondas acústicas están completamente caracterizadas por las ecuaciones para desplazamientos de partículas U i y potencial φ [2] :

T_{ij}=C_{ijkl}S_{kl}-e_{kij}E_{k},

(1.1)

D_{i}=\varepsilon _{ij}E_{j}+e_{ijk}S_{jk},

(1.2)

S_{kl}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\parcial U_{k}}{\parcial x_{l}}}+{\frac {\parcial U_{ l)){\parcial x_{k))}\right),

(1.3)

E_{i}=-{\frac {\parcial \phi }{\parcial x_{i))},

(1.4)

\rho {\frac {\parcial ^{2}U_{i}}{\parcial t^{2}}}={\frac {\parcial T_{ik}}{\parcial x_{k}} },

(1.5)

donde T ij , S ij son tensores de tensión y deformación; E , D son vectores de fuerza e inducción del campo eléctrico; C ijkl , e ijk , ε ij son los tensores de los módulos elásticos (este tensor es simétrico con respecto al último par de índices [3] ), módulos piezoeléctricos y permitividad, respectivamente; ρ es la densidad del medio. La suma se realiza sobre índices repetidos. El tensor de módulo elástico se establece en un campo eléctrico constante y el tensor de permitividad en una deformación constante. Si un piezoeléctrico no contiene cargas libres, entonces se puede considerar un dieléctrico y para él se cumple la ley de Gauss para la inducción de un campo eléctrico:

{\frac {\parcial D_{i)){\parcial x_{i))}=0.

(2)

Los semiconductores intrínsecos a una temperatura suficientemente baja satisfacen esta condición. Del sistema de ecuaciones anterior, se pueden obtener ecuaciones para ondas acústicas en un piezoeléctrico.

C_{ijkl}{\frac {\parcial ^{2}U_{k}}{\parcial x_{j}\parcial x_{l}}}+e_{kij}{\frac {\parcial ^{ 2}\phi }{\parcial x_{j}\parcial x_{k))}=\rho {\frac {\parcial ^{2}U_{i)){\parcial t^{2))},

(3.1)

e_{ijk}{\frac {\parcial ^{2}U_{j)){\parcial x_{i}\parcial x_{k))}-\varepsilon _{ij}{\frac {\parcial ^{2}\phi }{\parcial x_{i}\parcial x_{j))}=0.

(3.2)

Estas ecuaciones con condiciones de contorno definen completamente el problema. En ausencia del efecto piezoeléctrico, las soluciones de la ecuación ( 3.1 ) son ondas elásticas en un medio lineal anisótropo.

Ondas parciales

Estamos buscando una solución a las ecuaciones ( 3.1 ) y ( 3.2 ) en forma de ondas planas que se propagan en la dirección x 1 y amortiguan en la dirección x 3 :

u_{j}^{m}=\alpha _{j}^{m}\mathrm {exp} (ikb^{m}x_{3})\mathrm {exp} [ik(x_{1} -Vermont)],

(4.1)

\phi ^{m}=\alpha _{4}^{m}\mathrm {exp} (ikb^{m}x_{3})\mathrm {exp} [ik(x_{1}-vt )],

(4.2)

Sustituyendo estas soluciones en las ecuaciones de onda, obtenemos un sistema de ecuaciones para las amplitudes

{\begin{pmatrix}\Gamma_{11}-\rho v^{2}&\Gamma_{12}&\Gamma_{13}&\Gamma_{14}\\\Gamma_{ 12}&\Gamma_{22}-\rho v^{2}&\Gamma_{23}&\Gamma_{24}\\\Gamma_{13}&\Gamma_{23}&\Gamma_ {33}-\rho v^{2}&\Gamma_{31}\\\Gamma_{14}&\Gamma_{24}&\Gamma_{34}&\Gamma_{44}-\rho v^{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\alpha _{3}\\\alpha _{4}\ \\end{matrix}}=0

(5.1)

donde los elementos se expresan como

{\begin{alineado}\Gamma_{11}&=c_{55}b^{2}+2c_{15}b+c_{11},\\\Gamma_{22}&=c_{ 44}b^{2}+2c_{46}b+c_{66},\\\Gamma _{33}&=c_{33}b^{2}+2c_{35}b+c_{55}, \\\Gamma _{12}&=c_{55}b^{2}+(c_{14}+c_{56})b+c_{16},\\\Gamma _{13}&=c_{ 35}b^{2}+(c_{13}+c_{55})b+c_{15},\\\Gamma _{23}&=c_{34}b^{2}+(c_{36 }+c_{45})b+c_{56},\\\Gamma_{44}&=-(\varepsilon_{33}b^{2}+2\varepsilon_{13}b+\varepsilon_{ 11}),\\\Gamma_{14}&=e_{35}b^{2}+(e_{15}+e_{31})b+e_{11},\\\Gamma_{24} &=e_{34}b^{2}+(e_{14}+e_{36})b+e_{16},\\\Gamma _{34}&=e_{33}b^{2}+ (e_{13}+e_{35})b+e_{15},\\\end{alineado}}

(5.2)

Para que exista una solución no trivial de ecuaciones, es necesario que el determinante del sistema ( 5.1 ) sea igual a cero. Esta condición define una ecuación de octavo grado para b. Eligiendo solo soluciones en el complejo inferior, encontramos la solución completa de las ecuaciones de onda:

u_{j}=\left[\sum _{m}C_{m}\alpha _{j}^{m}\mathrm {exp} (ikb^{m}x_{3})\right] \mathrm {exp} [ik(x_{1}-vt)],

(6.1)

\phi =\left[\sum _{m}C_{m}\alpha _{4}^{m}\mathrm {exp} (ikb^{m}x_{3})\right]\mathrm {exp} [ik(x_{1}-vt)],

(6.2)

donde los coeficientes desconocidos C m se encuentran a partir de las condiciones de contorno especificadas en la superficie del piezoeléctrico: las condiciones de la superficie descargada T 33 =T 31 =T 32 =0 y la continuidad de la componente normal del vector de inducción eléctrica D 3 . Para las condiciones de contorno (se muestra la m-ésima columna), obtenemos un sistema de ecuaciones:

{\begin{pmatrix}\cdot \cdot \cdot (c_{33i1}+c_{33i3}b^{m})\alpha _{i}^{m}+(e_{133}+e_{ 333}b^{m})\alpha _{4}^{m}\cdot \cdot \cdot \\\cdot \cdot \cdot (c_{31i1}+c_{31i3}b^{m})\alpha _{i}^{m}+(e_{131}+e_{331}b^{m})\alpha_{4}^{m}\cdot \cdot \cdot \\\cdot \cdot \cdot ( c_{32i1}+c_{32i3}b^{m})\alpha _{i}^{m}+(e_{132}+e_{332}b^{m})\alpha _{4}^{ m}\cdot \cdot \cdot \\\cdot \cdot \cdot (e_{3i1}+e_{3i3}b^{m})\alpha _{i}^{m}-(\varepsilon _{31} +\varepsilon _{33}b^{m}-i\varepsilon _{0})\alpha _{4}^{m}\cdot \cdot \cdot \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix }C_{1}\\C_{2}\\C_{3}\\C_{4}\\\end{matrix}}=0.

(7)

A partir de la igualdad del determinante del sistema a cero, se encuentra la velocidad de fase de la onda [4] .

Simetría de cristales

Usando la notación de Voigt , el tensor de módulo elástico se puede reescribir como una matriz simétrica de 6×6, que generalmente tiene 21 componentes linealmente independientes [5] . Para cristales de simetría cúbica ( silicio , arseniuro de galio ), donde el sistema de coordenadas coincide con los ejes de la red cristalina, hay solo tres componentes independientes [6] :

{\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{12}&0&0&0\\c_{12}&c_{11}&c_{12}&0&0&0\\c_{12}&c_{12}&c_{11 }&0&0&0\\0&0&0&c_{44}&0&0\\0&0&0&0&c_{44}&0\\0&0&0&0&0&0&c_{44}\\\end{matrix}}

Para cristales de simetría hexagonal ( sulfuro de cadmio , óxido de zinc ), donde el eje x3 coincide con el eje Z del cristal, hay cinco componentes independientes [6] :

{\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&0&0&0\\c_{12}&c_{11}&c_{13}&0&0&0\\c_{13}&c_{13}&c_{33 }&0&0&0\\0&0&0&c_{44}&0&0\\0&0&0&0&c_{44}&0\\0&0&0&0&0&1/2(c_{11}-c_{12})\\\end{pmatriz}}

Para cristales de simetría trigonal (clases 32, 3 m , ), se distinguen seis componentes independientes [6] : ${\overline {3}}m$

{\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&0&0\\c_{12}&c_{11}&c_{13}&c_{14}&0&0\\c_{13 }&c_{13}&c_{33}&0&0&0\\c_{14}&c_{14}&0&c_{44}&0&0\\0&0&0&0&c_{44}&c_{14}\\0&0&0&0&c_{14}&1/2(c_{11}- c_{12})\\\end{matrix}}

Esta clase incluye piezoeléctricos importantes como el cuarzo , el niobato de litio .

El tensor de constantes piezoeléctricas en notación de Voigt (se sustituye el último par de índices) para el sistema cúbico (clases 23 y ) tienen una componente independiente [7] $4{\overline {3}}m$

{\begin{pmatrix}0&0&0&e_{14}&0&0\\0&0&0&0&e_{14}&0\\0&0&0&0&0&e_{14}\\\end{pmatrix))

Para cristales con simetría hexagonal ( grupo de puntos de 6 mm , cerámica polarizada a lo largo del eje x 3 ), hay tres componentes:

{\begin{pmatrix}0&0&0&0&e_{15}&0\\0&0&0&e_{15}&0&0\\e_{31}&e_{31}&e_{33}&0&0&0\\\end{pmatrix))

Para el grupo de puntos 32 ( singonía trigonal ), los dos componentes son:

{\begin{pmatrix}e_{11}&-e_{11}&0&e_{14}&0&0\\0&0&0&0&-e_{14}&-e_{11}\\0&0&0&0&0&0\\\end{pmatrix))

y para el grupo puntual 3 m - cuatro [7] :

{\begin{pmatrix}0&0&0&0&e_{15}&-e_{22}\\-e_{22}&e_{22}&0&e_{15}&0&0\\e_{31}&e_{31}&e_{33}&0&0&0 \\\end{matrix}}

El tensor de constante dieléctrica también depende de la dirección en el cristal para los grupos 3 m , 32, 6 mm y ε 33 ≠ε 11 = ε 22 . Para las clases 23, , m 3 m : ε 33 =ε 11 =ε 22 . ${\overline {3}}m$ $4{\overline {3}}m$

Interacción de tensioactivos en un piezoeléctrico con un 2DEG

Considere el caso unidimensional más simple y, descartando los índices, reescriba el sistema de ecuaciones ( 1 ) en la forma [8] :

T=cS-eE,

(8.1)

D=eS+\varepsilon E,

(8.2)

{\frac {\parcial S}{\parcial x))={\frac {\parcial ^{2}U}{\parcial x^{2))},

(8.3)

{\frac {\parcial T}{\parcial x))=\rho {\frac {\parcial ^{2}U}{\parcial t^{2))}.

(8.4)

Este sistema de ecuaciones conduce a la ecuación de onda para el cambio

\rho {\frac {\parcial ^{2}U}{\parcial t^{2}}}=c\left(1+{\frac {e^{2}}{c\varepsilon }} \right){\frac {\parcial ^{2}U}{\parcial x^{2))}-{\frac {e}{\varepsilon }}{\frac {\parcial D}{\parcial x} }.

(9)

Si el piezoeléctrico resulta ser un buen conductor, entonces las ondas sonoras longitudinales (velocidad ) no serán piezoeléctricas, y si es un dieléctrico, entonces la velocidad de la onda será . El coeficiente se denomina coeficiente de acoplamiento electromecánico y toma valores inferiores a 0,05 (para la superficie (100) GaAs en la dirección [011] K² eff =6,4× 10−4 ). Si se forma un 2DEG con conductividad σ en GaAs, entonces el campo eléctrico de una onda acústica conduce a pérdidas de energía debido a pérdidas óhmicas. El coeficiente de amortiguamiento Γ y el cambio en la velocidad de la onda piezoacústica con frecuencia ω son iguales, respectivamente: $v_{0}={\sqrt {c/\rho ))$ $v={\sqrt {(1+e^{2}/c\varepsilon)c/\rho}}$ $K^{2}=e^{2}/c\varepsilon$

\Gamma ={\frac {2\pi }{\lambda }}{\frac {K_{eff}^{2}}{2}}{\frac {\sigma /\sigma _{M}} {1+(\sigma /\sigma _{M})^{2}}},

(10.1)

{\frac {v-v_{0}}{v_{0}}}={\frac {K_{eff}^{2}}{2}}{\frac {1}{1+(\ sigma /\sigma _{M})^{2}}},

(10.2)

donde λ es la longitud de onda, σ M =v 0 (1+ε). Aquí, la distancia al 2DEG desde la superficie es mucho menor que la longitud de onda. En un caso más general, el cambio de velocidad y amortiguamiento están relacionados por la relación [9] :

{\frac {\Delta v_{s}}{v_{s}}}-{\frac {i\Gamma }{q}}={\frac {\alpha ^{2}/2}{1 +i\sigma _{xx}(q,v_{s}q)/\sigma _{M}}},

(once)

donde v s es la velocidad de la onda acústica para un conductor ideal, q es el vector de onda y los coeficientes α y σ M dependen de los parámetros del material. Por lo tanto, se puede ver que la interacción de SAW con 2DEG depende de la componente longitudinal del terzor de conductividad, que determina el método sin contacto para su medición.

Debido a la presencia de atenuación, parte del impulso de la onda se transfiere al 2DEG, dando lugar a la aparición de una corriente acustoeléctrica (si el circuito está cerrado). Se estudió la relación entre amortiguamiento y desfase y conductividad debido a la interacción de SAWs en un material piezoeléctrico con un 2DEG en presencia de un campo magnético perpendicular en el régimen del efecto Hall cuántico entero [8] y el efecto Hall cuántico fraccionario [10]

Amplificación SAW en semiconductores con propiedades piezoeléctricas

El sistema de ecuaciones para el caso unidimensional ( 8 ) en semiconductores de tipo n con propiedades piezoeléctricas debe complementarse con ecuaciones para la corriente total (incluye las partes de deriva y difusión) [11]

J=q\mu n_{c}E+qD_{n}{\frac {\parcial n_{c)){\parcial x)),

(12)

ecuación de continuidad

{\frac {\parcial J}{\parcial x))=-q{\frac {\parcial n_{c)){\parcial t))

(13)

y el teorema de Gauss

{\frac {\parcial D}{\parcial x}}=-qn_{c}.

(catorce)

Aquí μ es la movilidad, q es la carga elemental, D n es el coeficiente de difusión y la concentración de electrones n c consiste en una parte constante n 0 y una contribución variable en el tiempo n s debido al campo eléctrico de la onda acústica. Además del campo eléctrico variable E 1 e jkx-jωt , actúa un campo constante E 0 .

El factor de amortiguamiento en este caso es igual a

\Gamma ={\frac {K^{2}}{2}}{\frac {\omega _{c}}{v_{0}\gamma }}\left[1+{\frac {\ omega _{c}^{2}}{\gamma ^{2}\omega ^{2}}}\left(1+{\frac {\omega ^{2}}{\omega_{c}\omega _ {D}}}\derecho)^{2}\derecho]^{-1}

(quince)

donde , , . Si la velocidad de deriva v d de los electrones es mayor que la velocidad de onda, entonces γ cambia de signo y, en consecuencia, en lugar de atenuación, la onda acústica superficial se amplifica. ${\ estilo de visualización \ omega _ {c} = \ sigma / \ varepsilon}$ $\omega_{D}=v_{0}^{2}/D$ $\gamma =1-\mu E_{0}/v_{0}=1-v_{d}/v_{0}$

Transporte adiabático en canales unidimensionales

La interacción de SAW en un piezoeléctrico con un 2DEG se puede extender a canales unidimensionales, es decir, aquellos formados con la ayuda de puertas laterales en la superficie de GaAs. Una sierra viajera debido al campo eléctrico puede crear un pozo de potencial en movimiento para un electrón individual (que puede representarse como un punto cuántico ) en un canal unidimensional bloqueado, es decir, inducir la conducción. Debido al bloqueo de Coulomb , se transfiere un electrón en un período y la corriente resultante está determinada solo por la frecuencia de la señal f y la carga del electrón [12] [13] :

I=fe.

Una fórmula tan simple abre la posibilidad de utilizar el transporte en canales casi unidimensionales como un estándar actual.

Aplicación

Sensores de ondas acústicas superficiales , líneas de retardo .

Notas

↑ White RM, Voltmer FW Acoplamiento piezoeléctrico directo a ondas elásticas superficiales // Appl. física Lett.. - 1965. - T. 7 . - S. 314-316 . -doi : 10.1063/ 1.1754276 . (enlace no disponible)
↑ Osetrov A. V., Sho N. V. Cálculo de parámetros de ondas acústicas superficiales en piezoeléctricos mediante el método de elementos finitos // Mecánica continua computacional. - 2011. - T. 4 . - S. 71-80 .
↑ Landau, 1987 , pág. 131.
↑ Filtros, 1981 , p. 18-21.
↑ Filtros, 1981 , p. once.
↑ 1 2 3 Filtros, 1981 , p. 12
↑ 1 2 Filtros, 1981 , p. catorce.
↑ 1 2 Wixforth A., Scriba J., Wassermeier M., Kotthaus JP, Weimann G., Schlapp W. Ondas acústicas superficiales en heteroestructuras de GaAs/Al x Ga 1-x As // Phys. Rvdo. B. - 1989. - T. 40 . - S. 7874-7887 . -doi : 10.1103 / PhysRevB.40.7874 .
↑ Simon SH Acoplamiento de ondas acústicas superficiales a un gas de electrones bidimensional // Phys. Rvdo. B. - 1996. - T. 54 . - S. 13878-13884 . -doi : 10.1103 / PhysRevB.54.13878 .
↑ Willett RL, Paalanen MA, Ruel RR, West KW, Pfeiffer LN, Bishop DJ Propagación anómala del sonido en ν=1/2 en un gas de electrones 2D: ¿Observación de una simetría traslacional rota espontáneamente? // Fis. Rvdo. Lett.. - 1990. - T. 65 . - S. 112-115 . -doi : 10.1103 / PhysRevLett.65.112 .
↑ White DL Amplificación de ondas ultrasónicas en semiconductores piezoeléctricos // J. Appl. Phys.. - 1962. - T. 33 . - S. 2547-2554 . -doi : 10.1063/ 1.1729015 . (enlace no disponible)
↑ Shilton JM, Talyanskii VI, Pepper M., Ritchie DA, Frost JEF, Ford CJB, Smith CG, Jones GAC Transporte de un solo electrón de alta frecuencia en un canal de GaAs casi unidimensional inducido por ondas acústicas superficiales // J. Phys.: Condens. Asunto. - 1996. - T. 8 . - art. 531 . -doi : 10.1088 / 0953-8984/8/38/001 .
↑ Thouless DJ Cuantificación del transporte de partículas // Phys. Rvdo. B. - 1983. - T. 27 . - S. 6083-6087 . -doi : 10.1103 / PhysRevB.27.6083 .

Literatura

Landau LD, Lifshits EM Física teórica. - M. : Nauka, 1987. - T. VII. Teoría de la elasticidad. — 248 págs.
Filtros sobre ondas acústicas superficiales (cálculo, tecnología y aplicación) = Filtros de ondas superficiales: diseño, construcción y uso / Ed. V. B. Akpambetova. - M. : Radio y comunicación, 1981. - 472 p. - 5000 copias.
Morgan D. Dispositivos de ondas superficiales para procesamiento de señales / Ed. S. I. Baskakova. - M. : Radio y comunicación, 1990. - 414 p. — ISBN 5256006614 .