Subcategoría
En matemáticas , una subcategoría de una categoría C es una categoría S cuyos objetos también son objetos de C y cuyos morfismos también son morfismos en C , con los mismos morfismos de identidad y reglas de composición. Intuitivamente, la subcategoría S se obtiene de C eliminando algunos objetos y morfismos.
Formal definición
Sea C una categoría. La subcategoría S de la categoría C está definida por
- una subclase de objetos C , denotada por ob( S ),
- subclase de morfismos C , denotada por hom( S ).
tal que se cumplan las siguientes condiciones:
- para cada X en ob( S ) el morfismo de identidad id X pertenece a hom( S ),
- para todo morfismo f : X → Y a hom( S ), su preimagen X y su imagen Y se encuentran en ob( S ),
- para todo par de morfismos f , g en hom( S ), la composición f o g está en hom( S ) si está definida en C .
De estas condiciones se sigue que S es una categoría en sí misma. Hay un funtor estricto obvio I : S → C llamado funtor de incrustación .
Una subcategoría S se llama subcategoría completa C si para cada par de objetos X , Y en S
Tipos de subcategorías
Una subcategoría S de una categoría C se llama isomorfismo cerrado si cualquier isomorfismo k : X → Y en C tal que Y pertenece a S también pertenece a S . Una subcategoría completa cerrada bajo un isomorfismo se denomina subcategoría estrictamente completa .
Una subcategoría C es amplia si contiene todos los objetos C. En particular, la única subcategoría completa amplia de la categoría C es la propia C.
Véase también
Literatura
- S. McLane Categorías para un matemático en activo, - M. : FIZMATLIT, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .