Número Real

Un número real ( un número real [1] ) es un objeto matemático que surgió de la necesidad de medir las cantidades geométricas y físicas del mundo que nos rodea, así como de realizar operaciones computacionales tales como extraer una raíz , calcular logaritmos , resolver ecuaciones algebraicas , estudiando el comportamiento de funciones [2] .

Si los números naturales surgieron en el proceso de contar, los números racionales , de la necesidad de operar con partes de un todo, los números reales están destinados a medir cantidades continuas. Así, la ampliación del acervo de números en estudio ha dado lugar al conjunto de los números reales, que, además de los números racionales, incluye elementos denominados números irracionales .

Visualmente, el concepto de número real se puede representar mediante una recta numérica . Si elige una dirección en una línea recta, un punto de partida y una unidad de longitud para medir segmentos, entonces cada número real se puede asociar con un punto determinado en esta línea recta y, a la inversa, se puede asociar cada punto de la línea recta con algún número real, y sólo uno. Debido a esta correspondencia, el término " recta numérica " suele utilizarse como sinónimo del conjunto de los números reales.

El concepto de un número real ha recorrido un largo camino de convertirse. Incluso en la antigua Grecia , en la escuela de Pitágoras , que ponía como base de todo los números enteros y sus proporciones, se descubrió la existencia de las cantidades inconmensurables (la inconmensurabilidad del lado y la diagonal de un cuadrado), es decir, en la terminología moderna. , números que no son racionales. Después de esto, Eudoxo de Cnido intentó construir una teoría general del número que incluía cantidades inconmensurables. Después de eso, durante más de dos mil años, nadie sintió la necesidad de una definición precisa del concepto de número real, a pesar de la expansión gradual de este concepto [3] . Recién en la segunda mitad del siglo XIX, cuando el desarrollo del análisis matemático requirió la de estrictauna,rigormayordenivelunde reestructuración

Desde el punto de vista de las matemáticas modernas, el conjunto de los números reales es un cuerpo ordenado continuo . Esta definición, o el sistema de axiomas equivalente , define exactamente la noción de un número real en el sentido de que solo hay un campo ordenado continuo, salvo isomorfismo .

El conjunto de números reales tiene una notación estándar - R ("R en negrita"), o Unicode U +211D : ℝ) ( pizarra en negrita "R") de lat. realis - real. $\matemáticas {R}$ $\mathbf{R}$

La historia de la formación del concepto de número real

Teoría ingenua de los números reales

El primer sistema numérico desarrollado, construido en la antigua Grecia , incluía solo números naturales y sus proporciones ( proporciones , en el sentido moderno, números racionales ). Sin embargo, pronto quedó claro que esto no era suficiente para los propósitos de la geometría y la astronomía: por ejemplo, la relación entre la longitud de la diagonal de un cuadrado y la longitud de su lado no se puede representar ni con un número natural ni con un número racional. [4] .

Para salir de la situación, Eudoxo de Cnido introdujo, además de los números, un concepto más amplio de cantidad geométrica , es decir, la longitud de un segmento, área o volumen. La teoría de Eudoxo nos ha llegado en la exposición de Euclides (" Principios ", libro V). En esencia, la teoría de Eudoxo es un modelo geométrico de números reales. Desde un punto de vista moderno, el número con este enfoque es la relación de dos cantidades homogéneas, por ejemplo, la investigada y el estándar único. Sin embargo, debe enfatizarse que Eudoxo se mantuvo fiel a la antigua tradición: no consideró tal proporción como un número; debido a esto, en los Elementos, muchos teoremas sobre las propiedades de los números se vuelven a demostrar para las magnitudes. La teoría clásica de Dedekind para la construcción de números reales es extremadamente similar en sus principios a la exposición de Eudoxo. Sin embargo, el modelo de Eudoxo está incompleto en algunos aspectos, como que no incluye números negativos.

La situación comenzó a cambiar en los primeros siglos d.C. mi. Ya Diofanto de Alejandría , contrariamente a las tradiciones anteriores, considera las fracciones de la misma manera que los números naturales, y en el libro IV de su "Aritmética" incluso escribe sobre un resultado: "El número resulta no ser racional" [5] . Después de la muerte de la ciencia antigua, los matemáticos de la India y los países del Islam pasaron a primer plano , para los cuales cualquier resultado de medición o cálculo se consideraba un número. Estos puntos de vista ganaron gradualmente la partida en la Europa medieval [6] , donde en un principio se separaron los números racionales e irracionales (literalmente: “irrazonables”) (también llamados imaginarios, absurdos, sordos, etc.). Una ecuación completa en los derechos de los números irracionales está asociada con los escritos de Simon Stevin (finales del siglo XVI), quien proclamó [5] :

Llegamos a la conclusión de que no existen números absurdos, irracionales, erróneos, inexplicables o sordos, sino que entre los números existe tal perfección y concordancia que necesitamos meditar día y noche en su asombrosa plenitud.

Él, con algunas reservas, legalizó los números negativos , y también desarrolló la teoría y el simbolismo de las fracciones decimales , que a partir de ese momento comienzan a suplantar a las inconvenientes sexagesimales .

Un siglo más tarde, Newton en su " Aritmética universal " ( 1707 ) da la definición clásica de un número (real) como la relación entre el resultado de la medición y un estándar único [7] :

Por número entendemos no tanto un conjunto de unidades como una relación abstracta de una cantidad con otra cantidad del mismo tipo, tomada como unidad.

Durante mucho tiempo, esta definición aplicada se consideró suficiente, por lo que las propiedades importantes de los números reales y las funciones en la práctica no se demostraron, sino que se consideraron intuitivamente obvias (a partir de consideraciones geométricas o cinemáticas ). Por ejemplo, se consideró evidente que una curva continua, cuyos puntos están ubicados en lados opuestos de una determinada línea, intersecta esta línea. Tampoco hubo una definición estricta del concepto de continuidad [8] . Como consecuencia, muchos teoremas contenían errores, formulaciones vagas o demasiado amplias.

Incluso después de que Cauchy desarrollara una base bastante rigurosa para el análisis , la situación no cambió, ya que la teoría de los números reales, en la que se suponía que se basaba el análisis, no existía. Debido a esto, Cauchy cometió muchos errores, apoyándose en la intuición donde ésta conducía a conclusiones incorrectas: por ejemplo, creía que la suma de una serie de funciones continuas es siempre continua.

Creación de una teoría rigurosa

El primer intento de llenar un vacío en los fundamentos de las matemáticas lo realizó Bernard Bolzano en su artículo "Prueba puramente analítica del teorema de que entre dos valores cualesquiera que dan resultados de signo opuesto, hay al menos uno raíz real de la ecuación ” ( 1817 ). Este trabajo pionero aún no cuenta con un sistema integral de números reales, pero ya se da una definición moderna de continuidad y se demuestra que sobre esta base se puede demostrar rigurosamente el teorema mencionado en el título [9] . En un trabajo posterior [10] , Bolzano da un esbozo de la teoría general de los números reales, que se acerca en ideas a la teoría de conjuntos de Cantor [11] , pero este trabajo suyo permaneció inédito durante la vida del autor y se publicó solo en 1851. Las opiniones de Bolzano estaban muy por delante de su tiempo y no atrajeron la atención de la comunidad matemática.

La teoría moderna de los números reales se construyó en la segunda mitad del siglo XIX, principalmente por el trabajo de Weierstrass , Dedekind y Cantor . Propusieron enfoques diferentes pero equivalentes a la teoría de esta importante estructura matemática y finalmente separaron este concepto de la geometría y la mecánica [12] .

Maneras constructivas de definir un número real

Con una definición constructiva del concepto de número real a partir de objetos matemáticos conocidos (por ejemplo, el conjunto de los números racionales ), que se toman como dados, se construyen nuevos objetos que, en cierto sentido, reflejan nuestra intuición. comprensión del concepto de número real. La diferencia esencial entre los números reales y estos objetos construidos es que los primeros, a diferencia de los segundos, solo los entendemos intuitivamente y aún no son un concepto matemático estrictamente definido. $\matemáticas {Q}$

Estos objetos se declaran como números reales. Para ellos, se introducen las operaciones aritméticas básicas, se determina la relación de orden y se prueban sus propiedades.

Históricamente, las primeras definiciones rigurosas de un número real fueron precisamente las definiciones constructivas. En 1872 se publicaron simultáneamente tres obras: la teoría de las sucesiones fundamentales de Cantor , la teoría de Weierstrass (en la versión moderna - la teoría de las fracciones decimales infinitas) y la teoría de las secciones en la región de los números racionales de Dedekind [3] [ 13] .

La teoría de las sucesiones fundamentales de Cantor

En este enfoque, un número real se considera como el límite de una secuencia de números racionales. Para que una sucesión de números racionales converja, se le impone la condición de Cauchy :

\forall \varepsilon >0\;\existe N(\varepsilon ):\;\forall n>N(\varepsilon )\;\forall m>0\;|a_{n+m}-a_{n}|< \varepsilon

El significado de esta condición es que los miembros de la secuencia, a partir de un cierto número, estarán arbitrariamente cerca unos de otros. Las sucesiones que satisfacen la condición de Cauchy se denominan fundamentales .

Denotamos el número real definido por la secuencia fundamental de números racionales . $\{un}\}$ $[un}]$

dos numeros reales

$\alfa =[a_{n}]$ y , $\beta =[b_{n}]$

definidas respectivamente por las sucesiones fundamentales y , se llaman iguales si $\{un}\}$ $\{b_{n}\}$

\lim _{n\to\infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)=0

Si se dan dos números reales y , entonces su suma y producto son los números definidos respectivamente por la suma y el producto de las sucesiones y : $\alfa =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\{un}\}$ $\{b_{n}\}$

\alpha +\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}+b_{n}]\qquad \alpha \cdot \beta {\overset {\text{def}}{= }}[a_{n}\cdot b_{n}]

La relación de orden sobre el conjunto de los números reales se establece mediante un acuerdo según el cual el número es, por definición, mayor que el número , es decir , si $\alfa =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\alfa >\beta$

\existe \varepsilon >0\;\existe N:\;\forall n>N\;a_{n}\geqslant b_{n}+\varepsilon

El método de construcción del conjunto de números reales usando secuencias fundamentales de números racionales es un caso especial de la construcción completa de un espacio métrico arbitrario . Como en el caso general, el conjunto de números reales obtenido como resultado de la terminación ya es completo , es decir, contiene los límites de todas las secuencias fundamentales de sus elementos.

Teoría de los decimales infinitos

Un número real se define como una fracción decimal infinita , es decir, una expresión de la forma

\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

donde se encuentra uno de los símbolos o , llamado el signo del número, es un número entero no negativo, es una secuencia de decimales, es decir, elementos del conjunto numérico . $\pm$ $+$ $-$ $un_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots a_{n},\ldots$ $\{0,1,\lpuntos 9\}$

Una fracción decimal infinita se interpreta como un número que se encuentra en la recta numérica entre los puntos racionales de la forma

$\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}$ y para todos $\pm \left(a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}+10^{-n}\right)$ $n=0,1,2,\l puntos$

La comparación de números reales en forma de fracciones decimales infinitas se realiza poco a poco. Por ejemplo, dados dos números no negativos

{\begin{matriz}\alpha &=+a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots \\\beta &=+b_{0},b_{1}b_{ 2}\ldots b_{n}\ldots \end{matriz}}

Si , entonces ; si entonces _ En caso de igualdad, se procede a comparar el siguiente dígito. Y así. Si , luego de un número finito de pasos se encontrará el primer dígito tal que . Si , entonces ; si entonces _ $a_{0}<b_{0}$ $\alfa <\beta$ $a_{0}>b_{0}$ $\alfa >\beta$ $a_{0}=b_{0}$ $\alpha \neq \beta$ $norte$ $a_{n}\neq b_{n}$ $a_{n}<b_{n}$ $\alfa <\beta$ $a_{n}>b_{n}$ $\alfa >\beta$

Sin embargo, debe tenerse en cuenta que el número Por lo tanto, si el registro de uno de los números comparados, a partir de un dígito determinado, es una fracción decimal periódica, que tiene 9 en el período, entonces debe reemplazarse por un registro equivalente, con cero en el período. $a_{0},a_{1}a_{2}\puntos a_{n}(9)=a_{0},a_{1}a_{2}\puntos a_{n}+10^{-n}$

Las operaciones aritméticas sobre fracciones decimales infinitas se definen como una extensión continua [14] de las correspondientes operaciones sobre números racionales. Por ejemplo, la suma de números reales y se denomina número real que satisface la siguiente condición: $\alfa$ $\beta$ $\alfa +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \ leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')

De igual forma define la operación de multiplicar infinitas fracciones decimales.

Teoría de secciones en la región de los números racionales

En el enfoque de Dedekind, los números reales se definen utilizando secciones en el conjunto de números racionales.

Una sección en el conjunto de números racionales es cualquier partición del conjunto de todos los números racionales en dos clases no vacías : inferior y superior , de modo que cada número de la clase inferior sea estrictamente menor que cualquier número de la superior: $\matemáticas {Q}$ $A$ $A'$

$\mathbb {Q} =A\cup A'\quad \land \quad A,A'\neq \varnothing \quad \land \quad \forall a\in A,\forall a'\in A'\ ;(a<a')$

Si existe un número que es máximo en la clase inferior o mínimo en la clase superior, entonces este número separa los conjuntos y : los números de las clases superior e inferior se encuentran en lados opuestos de . También se dice que un número racional produce una sección dada del conjunto de números racionales. $\alfa$ $A$ $A'$ $\alfa$ $\alfa$

Si no hay un elemento máximo en la clase de la sección inferior y ningún elemento mínimo en la clase de la sección superior, entonces no hay un número racional que separe los conjuntos y . En este caso, por definición, se supone que la sección dada determina algún número irracional , que está entre las clases inferior y superior, y por lo tanto produce la sección dada. En otras palabras, para cualquier corte que no sea producido por ningún número racional , se introduce un nuevo objeto: un número irracional que, por definición, es mayor que cualquier número de la clase inferior y menor que cualquier número de la clase superior: $A$ $A'$ $\alfa$

$\para todos los a\en A,\para todos los a'\en A'\;a<\alpha <a'$

La unión de todos los números racionales y todos los irracionales se llama conjunto de los números reales , y sus elementos son los números reales .

Las operaciones aritméticas con números reales se definen como una extensión continua de las correspondientes operaciones con números racionales. Por ejemplo, la suma de números reales y se denomina número real que satisface la siguiente condición: $\alfa$ $\beta$ $\alfa +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \ leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')

Enfoque axiomático

Hay muchas formas de construir un conjunto de números reales. En la teoría de Cantor los números reales son clases de secuencias fundamentales equivalentes de números racionales, en la teoría de Weierstrass son fracciones decimales infinitas, en la teoría de Dedekind son secciones en la región de los números racionales. En todos estos enfoques, como resultado, obtenemos un determinado conjunto de objetos (números reales) que tienen ciertas propiedades: se pueden sumar, multiplicar, comparar entre sí. Además, una vez establecidas las propiedades de estos objetos, ya no podemos referirnos a las construcciones específicas mediante las cuales fueron construidos.

En matemáticas , no es la naturaleza específica de los objetos lo que es importante, sino solo las relaciones matemáticas que existen entre ellos.

Para una persona que estudia el concepto matemático de la cantidad de elementos , no importa de qué hablar: sobre tres manzanas o tres piedras, y su comestibilidad o incomibilidad no importa. En el proceso de abstracción de signos no esenciales, es decir, abstracción ( lat. abstractio - distracción), llega a lo común que tienen tres manzanas y tres piedras: la cantidad de elementos. Surge así el concepto abstracto de número natural . Desde este punto de vista, tres manzanas y tres piedras son dos implementaciones concretas del modelo del concepto abstracto de "el número tres".

Del mismo modo, las clases de sucesiones fundamentales de los números racionales, las fracciones decimales infinitas, las secciones en la región de los números racionales son sólo realizaciones concretas, modelos de un número real. Y el concepto mismo de número real está determinado por las relaciones matemáticas existentes para él. Tan pronto como se establecen, también se define el concepto de número real.

Aquí es apropiado citar la famosa declaración de D. Hilbert , el fundador del método axiomático de sistemas en matemáticas, quien, refiriéndose a la axiomatización de la geometría , comentó una vez:

Se debe asegurar que uno pueda hablar con igual éxito en lugar de puntos, líneas y planos sobre mesas, sillas y jarras de cerveza.David Gilbert [15]

Axiomática de los números reales

Un conjunto se llama conjunto de números reales, y sus elementos se llaman números reales, si se satisface el siguiente conjunto de condiciones, llamado axiomática de los números reales: $\matemáticas {R}$

Axiomas de campo

Una asignación se define en un conjunto ( operación de suma ) $\matemáticas {R}$

$+:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

que asigna a cada par ordenado de elementos de algún elemento del mismo conjunto , llamado suma y ( notación equivalente de un elemento de un conjunto ). $a, b$ $\matemáticas {R}$ $C$ $\matemáticas {R}$ $a$ $b$ $a+b$ $C$ $\matemáticas {R}$

Además, se define un mapeo en el conjunto ( operación de multiplicación ) $\matemáticas {R}$

$\cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} \a \mathbb {R}$

que asigna a cada par ordenado de elementos de algún elemento , llamado producto de y . $a, b$ $\matemáticas {R}$ $a\cdot b$ $a$ $b$

En este caso, tienen lugar las siguientes propiedades.

{\texto{yo}}_{1}.

Conmutatividad de la suma. Para cualquier

a,b\en \mathbb {R}

a+b=b+a

{\texto{yo}}_{2}.

Asociatividad de la suma. Para cualquier

a,b,c\en \mathbb {R}

a+(b+c)=(a+b)+c

{\texto{yo}}_{3}.

La existencia del cero. Existe un elemento llamado cero tal que para cualquier

0\in\mathbb {R}

a\en \mathbb {R}

un+0=un

{\texto{yo}}_{4}.

La existencia de un elemento opuesto. Para cualquier hay un elemento llamado opuesto a tal que

a\en \mathbb {R}

-a\in\mathbb {R}

a

a+(-a)=0

{\texto{yo}}_{5}.

Conmutatividad de la multiplicación. Para cualquier

a,b\en \mathbb {R}

a\cdot b=b\cdot a

{\texto{yo}}_{6}.

Asociatividad de la multiplicación. Para cualquier

a,b,c\en \mathbb {R}

a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c

{\texto{yo}}_{7}.

La existencia de una unidad. Hay un elemento llamado unidad , tal que para cualquier

{\ estilo de visualización 1 \ en \ mathbb {R}}

a\en \mathbb {R}

a\cdot 1=a

{\texto{yo}}_{8}.

La existencia de un elemento inverso. Para any existe un elemento , también denotado y llamado el inverso de , tal que

a\in\mathbb {R},a\neq 0

a^{-1}\en \mathbb {R}

1/a

a

a\cdot a^{-1}=1

{\texto{yo}}_{9}.

La ley distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Para cualquier

a,b,c\en \mathbb {R}

a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c

{\texto{yo}}_{10}.

No trivialidad de campo. Uno y cero son elementos diferentes :

\matemáticas {R}

$1\neq 0$

Axiomas de orden

Se define una relación entre los elementos , es decir, para cualquier par ordenado de elementos de , se establece si la relación se cumple o no. En este caso, tienen lugar las siguientes propiedades. $\matemáticas {R}$ $\leqslant$ $a, b$ $\matemáticas {R}$ $a\leqslant b$

{\text{II}}_{1}.

reflexividad. Para cualquiera

a\en \mathbb {R}

$a\leqslant a$

{\text{II}}_{2}.

Antisimetría. Para cualquier

a,b\en \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\land (b\leqslant a)\Rightarrow (a=b)$

{\text{II}}_{3}.

Transitividad. Para cualquier

a,b,c\en \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\land (b\leqslant c)\Rightarrow (a\leqslant c)$

{\text{II}}_{4}.

Orden lineal. Para cualquier

a,b\en \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\lor (b\leqslant a)$

{\text{II}}_{5}.

Relación entre suma y orden. Para cualquier

a,b,c\en \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\Rightarrow (a+c\leqslant b+c)$

{\text{II}}_{6}.

Relación entre multiplicación y orden. Para cualquier

a,b\en \mathbb {R}

$(0\leqslant a)\land (0\leqslant b)\Rightarrow (0\leqslant a\cdot b)$

Axiomas de continuidad

{\texto{III}}_{1}.

Cualesquiera que sean los conjuntos no vacíos y , tal que para dos elementos cualesquiera y se cumple la desigualdad , existe un número tal que para todos y se cumple la relación

A\subconjunto \mathbb {R}

B\subconjunto \mathbb {R}

a \ en A

b\en B

a\leqslant b

\xi \in \mathbb {R}

a \ en A

b\en B

a\leqslant \xi \leqslant b

Estos axiomas son suficientes para derivar rigurosamente todas las propiedades conocidas de los números reales [16] .

En el lenguaje del álgebra moderna, los axiomas del primer grupo significan que un conjunto es un campo . Axiomas del segundo grupo - que el conjunto es un conjunto linealmente ordenado ( - ), y la relación de orden es consistente con la estructura del campo - . Los conjuntos que satisfacen los axiomas del primer y segundo grupo se denominan campos ordenados . Finalmente, el último grupo, formado por un axioma, establece que el conjunto de los números reales tiene la propiedad de continuidad , que también se denomina completitud . Resumiendo, podemos dar una definición equivalente del conjunto de los números reales. $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {R}$ ${\text{II}}_{1}$ ${\text{II}}_{4}$ ${\text{II}}_{5}$ ${\text{II}}_{6}$

Definición. El conjunto de los números reales es un campo ordenado continuo.

Otros sistemas de axiomas de números reales

Hay otras formas de axiomatización de los números reales. Por ejemplo, en lugar del axioma de continuidad , puede usar cualquier otra condición equivalente o grupo de condiciones. Por ejemplo, en el sistema de axiomas propuesto por Hilbert, los axiomas de los grupos y son esencialmente los mismos que los dados anteriormente, y se usan las siguientes dos condiciones en lugar del axioma: ${\texto{III}}_{1}.$ ${\ texto {yo}}$ ${\text{II}}$ ${\texto{III}}_{1}$

{\text{III}}_{1}'.

Axioma de Arquímedes . Sea [17] y. Entonces el elementopuede repetirse como un término tantas veces que la suma resultante exceda:

a>0

b>0

a

b

$a+a+\ldots +a>b$

{\text{III}}_{2}'.

Axioma de completitud (en el sentido de Hilbert). El sistema no puede extenderse a ningún sistema de tal forma que, manteniendo las relaciones anteriores entre elementos para , todos los axiomas - , .

\matemáticas {R}

\mathbb{R} ^{*}

\matemáticas {R}

\mathbb{R} ^{*}

{\ texto {yo}}

{\text{II}}

{\text{III}}_{1}'.

Por lo tanto, se puede dar la siguiente definición equivalente:

Definición. El conjunto de los números reales es el campo ordenado de Arquímedes máximo

Como otro ejemplo de axiomatización de números reales, se puede dar la axiomática de Tarski , que consta de solo 8 axiomas independientes.

Propiedades

Conexión con números racionales

Obviamente, los números racionales se mezclan con los números reales en la recta numérica , y el conjunto de los números reales es, en cierto sentido, más "denso" que el conjunto de los racionales. Surge una pregunta natural, con qué frecuencia los números racionales y reales caen en la recta numérica y si algunos números pueden ser aproximados por otros. La respuesta a esta pregunta viene dada por tres lemas , basados principalmente en el axioma de Arquímedes . [Dieciocho]

Lema 1. Para cualquier número real y cualquier distancia racional positiva tomada de antemano, existe un par de números racionales separados entre sí por menos de esta distancia, de modo que el número real se encuentra en el segmento entre estos números racionales.

\forall a\in \mathbb {R} ~\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}~\exists q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q} :~(q_{ 1}\leq a\leq q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon)

Este lema dice que cualquier número real se puede aproximar desde dos lados con una precisión dada por números racionales.

Lema 2. Entre dos números reales diferentes cualesquiera hay un número racional.

\forall a,b\in \mathbb {R} ,a<b~\existe q\in \mathbb {Q} :a<q<b

Una consecuencia obvia de este lema es el hecho de que entre dos números reales no coincidentes hay un número infinito de números racionales. Además, es aún más obvio que entre dos números racionales distintos cualesquiera hay un número real.

Lema 3. La aproximación racional de un número real descrita en el Lema 1 identifica de forma única un número real.

\forall a,b\in \mathbb {R} ~(\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}~\exists q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q} :~ (q_{1}\leq a\leq q_{2})\land (q_{1}\leq b\leq q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon))\ Flecha derecha a=b

Estos lemas en primer lugar dicen que el conjunto de los números reales no es tan "denso" en comparación con el conjunto de los números racionales, como podría parecer. El lema 2 ilustra esto con especial claridad. Los tres lemas se utilizan activamente para demostrar varios teoremas relacionados con las operaciones de suma y multiplicación de números reales.

Propiedades de la teoría de conjuntos

Inicialmente los números reales eran una generalización natural de los racionales , pero por primera vez descubrieron la propiedad de la incontabilidad, que dice que el conjunto de los números reales no se puede numerar, es decir, no hay biyección entre los conjuntos de los reales y los naturales . numeros _ Para mostrar la incontabilidad de todo el conjunto de números reales, basta con mostrar la incontabilidad del intervalo . [Dieciocho] $\izquierda(0,1\derecha)$

Deje que todos los números del intervalo especificado ya estén enumerados de alguna manera. Entonces se pueden escribir de la siguiente forma:

x_{1}=0,a_{11}a_{12}\cdots a_{1m}\cdots

x_{2}=0,a_{21}a_{22}\cdots a_{2m}\cdots

\cdots

x_{k}=0,a_{k1}a_{k2}\cdots a_{km}\cdots

\cdots

Aquí está el -ésimo dígito del -ésimo número. Es obvio que todos los números del tipo indicado pertenecen realmente al intervalo considerado, a menos que en cada número todos los dígitos sean inmediatamente ceros o nueves . $a_{{ij}}$ $j$ $i$

A continuación, considere el siguiente número:

x=0,d_{1}d_{2}\cdots d_{m}\cdots

Deje que cada dígito de este número satisfaga las siguientes tres propiedades: $d_{i}$

$d_{i}\neq 0$
$d_{i}\neq 9$
$d_{i}\neq a_{ii}$

Tal número realmente existe en el intervalo especificado, ya que es real, no coincide ni con el cero ni con el uno, y los dígitos decimales son suficientes para que se cumpla la tercera propiedad. Además, es interesante por el hecho de que no coincide con ninguno de los números escritos anteriormente, porque de lo contrario el -ésimo dígito del número coincidiría con el -ésimo dígito del número . Llegamos a una contradicción, que consiste en que no importa cómo se numeren los números del intervalo considerado, seguirá habiendo un número del mismo intervalo al que no se le asigna número. [Dieciocho] $X$ $x_{j}$ $j$ $X$ $j$ $x_{j}$

Esto indica que el conjunto de números reales no es contable . Su poder se llama el poder del continuo .

Conjunto extendido de números reales

En varias aplicaciones del análisis matemático, es conveniente utilizar el conjunto extendido de números reales , que se obtiene complementando el conjunto de números reales con un punto en el infinito de una de las siguientes maneras [19] . ${\overline{R))$ $R$

Dos infinitos con signo: , $\overline R = R \cup \{ +\infty\} \cup \{ -\infty\}$
Un infinito sin signo: . ${\overline {R}}=R\taza \{\infty \}$

Los infinitos con signo y , que aparecen en la primera definición, representan el límite de una secuencia de números respectivamente positivos o negativos, aumentando indefinidamente en módulo. La segunda definición utiliza infinito sin signo , a veces también denominado , que es el límite de una secuencia de números (con signos arbitrarios) que aumentan indefinidamente en valor absoluto. Tenga en cuenta que el símbolo puede denotar tanto el infinito sin signo como el infinito positivo . Por lo general, está claro por el contexto a qué se refiere el infinito, o no importa. $+\infty$ $-\infty$ $\infty$ $\pm\infty$ $\infty$ $+\infty$

Generalización de números reales

El campo de los números reales ha servido constantemente en matemáticas como fuente de generalizaciones y en varias direcciones importantes en la práctica. Las siguientes variantes de sistemas numéricos generalizados se unen directamente al campo . $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {R}$

Números complejos . Especialmente fructíferos en álgebra y análisis , se utilizan con éxito en física , ingeniería eléctrica , cartografía , hidrodinámica , etc.
Números de intervalo . Se utilizan principalmente en la teoría de los cálculos aproximados y en la teoría de la probabilidad .
Análisis no estándar , que suma números infinitesimales e infinitamente grandes (de diferente orden) a los números reales.

Aplicaciones

El modelo matemático de los números reales se usa ampliamente en ciencia y tecnología para medir cantidades que cambian continuamente. Sin embargo, esta no es su aplicación principal, porque las cantidades realmente medidas siempre tienen un número finito de decimales, es decir, son números racionales. El objetivo principal de este modelo es servir como base para los métodos analíticos de investigación. El gran éxito de estos métodos durante los últimos tres siglos ha demostrado que el modelo de los números reales en la mayoría de los casos refleja adecuadamente la estructura de las cantidades físicas continuas [20] [21] .

Lo dicho, por supuesto, no significa que la recta numérica real sea una imagen exacta de una cantidad continua real. Por ejemplo, la ciencia moderna aún no sabe si el espacio y el tiempo son discretos o infinitamente divisibles; sin embargo, incluso en el segundo caso, el modelo de números reales para estas cantidades debe considerarse como aproximado, ya que los conceptos de punto en el espacio y momento en el tiempo son idealizaciones que no tienen análogo real. Esta cuestión fundamental ha sido ampliamente discutida en la ciencia, comenzando por las aporías de Zenón .

Véase también

Continuidad del conjunto de los números reales
teoría de los números
Separador decimal
Número complejo
numero superreal
número hiperreal
Alexandrova directa
Suslina directa

Notas

↑
Los nombres " número real " y " número real " son equivalentes. Históricamente, el término " número real " se utilizó en la Escuela de Matemáticas de Moscú y " número real " en la Escuela de Leningrado . Dos obras clásicas se pueden citar como ejemplo:
- Luzin, N. N. Teoría de funciones de una variable real. (Escuela de Moscú)
- Natanson, I. P. Teoría de funciones de una variable real. (Escuela de Leningrado)
Los libros de texto universitarios modernos usan ambos términos:
- Zorich V. A. Análisis matemático. ( MGU, mekhmat ) — número real
- Ilyin V. A., Poznyak V. G. Fundamentos del análisis matemático. ( Universidad Estatal de Moscú, Facultad de Física ) — número real
- Kudryavtsev, L. D. Curso de Análisis Matemático. ( MIPT ) es un número real
- Fikhtengol'ts, G. M. Curso de cálculo diferencial e integral. ( Universidad Estatal de San Petersburgo ) — número real
↑ Véase L. D. Kudryavtsev, Curso de análisis matemático. - T. 1. - S. 35-36. , así como Bourbaki N. Ensayos sobre la historia de las matemáticas. - art. 146.
↑ 1 2 3 Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Caminos y laberintos. Ensayos sobre la historia de las matemáticas. - S. 287-289.
↑ Bourbaki N. . La arquitectura de las matemáticas. Ensayos sobre la historia de las matemáticas. - art. 147.
↑ 1 2 Bourbaki N. . La arquitectura de las matemáticas. Ensayos sobre la historia de las matemáticas. - S. 150-151.
↑ Historia de las matemáticas. - T. I. - S. 190-191, 304-305.
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↑ Bourbaki N. . La arquitectura de las matemáticas. Ensayos sobre la historia de las matemáticas. - art. 154.
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↑ Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. Álgebra y el comienzo del análisis. Libro de texto para los grados 10-11 de la escuela secundaria. - M., Educación, 1994. - ISBN 5-09-006088-6 . - C. 162-165
↑ Rybnikov K. A. Historia de las matemáticas. - T. 2. - S. 196.
↑ Como ya se ha introducido la relación de orden lineal sobre el conjunto de los números reales, podemos definir la topología de la recta real: como conjuntos abiertos, tomamos todas las uniones posibles de intervalos de la forma $\{x:\alfa <x<\beta \}$
↑ Reid C. Gilbert. - S. 79.
↑ Véase L. D. Kudryavtsev, Curso de análisis matemático. - T. 1.
↑ $(a>0)\;{\overset {\text{def}}{\Leftrightarrow }}\;(a\geqslant 0)\land (a\neq 0)$
↑ 1 2 3 V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Capítulo 2. Números Reales // Análisis Matemático / Ed. A. N. Tijonova . - 3ra ed. , revisado y adicional - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 44-45, 63 - 64. - 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .
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↑ Matemáticas, su contenido, métodos y significado (en tres volúmenes). - Academia de Ciencias de la URSS, 1956. - T. 1. - S. 29-31. — 296 págs.
↑ Stewart, Ian . Los increíbles números del profesor Stewart = los increíbles números del profesor Stewart. - M. : Alpina no ficción, 2016. - S. 209-210. — 422 págs. - ISBN 978-5-91671-530-9 .

Literatura

Referencias

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Hilbert D. Fundamentos de Geometría = Grundlagen der Geometrie / per. de la séptima edición alemana de I. S. Gradshtein, ed. P. K. Rashevsky. - M. - L .: Editorial estatal de literatura técnica y teórica, 1948.

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Caminos y laberintos. Ensayos sobre la historia de las matemáticas. — Por. del francés - M. : MIR, 1986. - 432 p.

Dedekind R. Continuidad y números irracionales = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4ª edición revisada. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 p.

Zorich V. A. Análisis matemático. Parte I. - 4ª ed., Rev. - M. : MTSNMO, 2002. - XVI + 664 p. — ISBN 5-94057-056-9 .

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentos del análisis matemático: en horas 2. Parte I. - 7ma ed. - M. : FIZMATLIT, 2005. - 648 p. - ISBN 5-9221-0536-1 .

Historia de las matemáticas desde la antigüedad hasta principios del siglo XIX. En tres volúmenes / ed. Yushkevich. - M. : NAUKA, 1970. - T. 1.

Kantor G. Obras sobre teoría de conjuntos / ed. A. N. Kolmogorov, F. A. Medvedev, A. P. Yushkevich,. - M. : CIENCIA, 1985. - (Clásicos de la ciencia).

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Kudryavtsev L. D. Curso corto de análisis matemático. - 3ra ed. revisado.. - M. : FIZMATLIT, 2005. - T. 1. - 400 p. — ISBN 5-9221-0184-6 .

Reed K. Gilbert / trad. De inglés. IV Dolgachev, ed. R. V. Gamkrelidze. — M .: NAUKA, 1977.

Rybnikov K. A. Historia de las matemáticas. - M. : Editorial de la Universidad de Moscú, 1963. - T. 2.

Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. Un curso de análisis matemático. — 3ra ed., corregida. - M. : FIZMATLIT, 2001. - 672 p. — ISBN 5-9221-0008-4 .

Fikhtengol's GM Fundamentos de análisis matemático. - 7ª ed. - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 416 p. — ISBN 5-9221-0196-X .

Lectura recomendada

de la historia de la formación del concepto de número real:

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Caminos y laberintos. Ensayos sobre la historia de las matemáticas.
Historia de las matemáticas, editada por A. P. Yushkevich en tres volúmenes, M .: Nauka.

Volumen 1 Desde la antigüedad hasta el comienzo de los tiempos modernos. (1970)
Volumen 2 Matemáticas del siglo XVII. (1970)
Volumen 3 Matemáticas del siglo XVIII. (1972) Archivado el 24 de marzo de 2017 en Wayback Machine .

Una presentación detallada de la teoría de la construcción de números reales usando secuencias fundamentales , así como la teoría de la construcción de números reales usando secciones en la región de los números racionales, se puede encontrar a continuación:

Arnold IV Aritmética teórica . Archivado el 25 de febrero de 2010 en Wayback Machine .

Aquellos que deseen familiarizarse con el tren de pensamiento original del propio R. Dedekind pueden recomendar un folleto en el que en 1872 Dedekind esbozó su teoría del número real. Este libro sigue siendo una de las mejores y más accesibles exposiciones del tema hasta la fecha. Hay una traducción al ruso:

Dedekind, R. Continuidad y números irracionales = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4ª edición revisada. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 p.

además, hay una excelente exposición de la teoría de Dedekind en el libro de texto clásico:

Fikhtengol'ts, G. M. Fundamentos del análisis matemático. - 7ª ed. - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 416 p. — ISBN 5-9221-0196-X .

La construcción de la teoría del número real usando decimales infinitos se puede encontrar en los libros:

Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. Un curso de análisis matemático.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentos del análisis matemático: en horas 2. Parte I.

una presentación axiomática de la teoría del número real se puede encontrar en los libros:

Kudryavtsev, L. D. Curso de Análisis Matemático. - 5ª ed. - M. : Drofa, 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Zorich, V. A. Análisis matemático. Parte I. - Ed. 4to, rev. - M. : "MTsNMO", 2002. - 657 p. — ISBN 5-94057-056-9 .

La esencia del método axiomático y su comparación con el enfoque constructivo son presentadas por D. Hilbert en varias páginas del “Apéndice VI. Sobre el concepto de número" en la siguiente edición de la obra clásica:

Hilbert D. Fundamentos de Geometría = Grundlagen der Geometrie. - por. de la séptima edición alemana de I. S. Gradshtein, ed. P. K. Rashevsky. - M. - L .: Editorial estatal de literatura técnica y teórica, 1948.

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