Polarización (Álgebra de mentira)

La polarización en la teoría de la representación es el subespacio completamente isotrópico máximo de una cierta forma bilineal sesgada simétrica en el álgebra de Lie . El concepto de polarización juega un papel importante en la construcción de representaciones unitarias irreducibles de algunas clases de grupos de Lie por el método de la órbita , así como en el análisis armónico de los grupos de Lie y la física matemática .

Definición

Sea un grupo de Lie, sea su álgebra de Lie, sea el espacio dual de k . Por denote el valor del funcional lineal ( covector ) en el vector . Se dice que una subálgebra de un álgebra está subordinada a un covector si la condición $GRAMO$ $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak{g}}^{*}$ $\matemáticas g$ ${\ estilo de visualización \ ángulo f, \, X \ ángulo}$ $f\in {\mathfrak {g}}^{*}$ $X\in {\mathfrak{g))$ ${\mathfrak{h))$ $\matemáticas g$ $f\in {\mathfrak {g}}^{*}$

\langle f,\,[X,\,Y]\rangle =0\quad \forall \quad X,Y\in {\mathfrak {h))

o, más brevemente,

\langle f,\,[{\mathfrak {h)],\,{\mathfrak {h))]\rangle =0

Dejemos, además, que el grupo actúe sobre el espacio mediante una representación coadjunta . Denótese por la órbita de esta acción que pasa por el punto , y denótese el álgebra de Lie del grupo estabilizador del punto . Una subálgebra subordinada a la funcional se denomina polarización del álgebra con respecto a , o, en definitiva, polarización del covector , si tiene la máxima dimensión posible, a saber $GRAMO$ ${\mathfrak{g}}^{*}$ $\mathrm {Anuncio} ^{*}$ ${\mathcal {O}}_{f}$ $F$ ${\mathfrak{g}}^{f}$ $\mathrm {Puñalada} (f)$ $F$ ${\mathfrak {h}}\subconjunto {\mathfrak {g}}$ $F$ $\mathfrak{g}$ $F$ $F$

\dim {\mathfrak {h}}={\frac {1}{2}}\left(\dim \,{\mathfrak {g}}+\dim \,{\mathfrak {g}}^ {f}\right)=\dim \,{\mathfrak {g}}-{\frac {1}{2}}\dim \,{\mathcal {O}}_{f}

[1] [2] .

Condición de Pukansky

La siguiente condición, encontrada por L. Pukansky [3] , jugó un papel históricamente importante en el desarrollo de la teoría de la representación .

Sea la polarización correspondiente al covector , sea su aniquilador, es decir, el conjunto de todos los funcionales cuyo valor es igual a cero: . Una polarización se llama normal si se cumple una condición, que se llama la condición de Pukansky : ${\mathfrak{h))$ $F$ ${\mathfrak {h}}^{\perp}$ $\lambda \in {\mathfrak {g}}^{*}$ ${\mathfrak{h))$ ${\mathfrak {h}}^{\perp }:=\{\lambda \in {\mathfrak {g}}^{*}|\langle \lambda ,\,{\mathfrak {h}}\ rango=0\}$ ${\mathfrak{h))$

f+{\mathfrak {h}}^{\perp}\in {\mathcal {O}}_{f}

(una)

L. Pukansky demostró que la condición ( 1 ) garantiza la aplicabilidad del método de la órbita de A. Kirillov , originalmente desarrollado para grupos de Lie nilpotentes, también a una clase más amplia de grupos solubles [4] .

Propiedades

Una polarización es un subespacio maximal completamente isotrópico de forma bilineal en un álgebra de Lie [1] [2] . $\langle f,\,[\cdot ,\,\cdot ]\rangle$ $\mathfrak{g}$
La polarización no existe para cada par [1] [2] . ${\ estilo de visualización ({\ mathfrak {g)), \, f)}$
Si hay una polarización para el funcional, entonces también existe para cualquier punto de la órbita , y si hay una polarización para , entonces hay una polarización para . Así, la existencia de polarización es una propiedad de la órbita en su conjunto [1] . $F$ ${\mathcal {O}}_{f}$ ${\mathfrak{h))$ $F$ $\mathrm {Anuncio} _{g}{\mathfrak {h}}$ $\mathrm {Anuncio} _{g}^{*}f$
Si el álgebra de Lie es completamente solucionable, entonces tiene una polarización con respecto a cada punto [2] . $\mathfrak{g}$ $f\in {\mathfrak {g}}^{*}$
Si es una órbita en posición general , entonces con respecto a cada uno de sus puntos para cualquier álgebra de Lie hay una polarización, y puede elegirse solucionable [2] . $\mathcal{O}$
Si hay una polarización para la órbita , entonces la incrustación se puede realizar mediante funciones lineales en las variables , donde están las coordenadas canónicas para la forma de Kirillov en la órbita . [5] [6] . $\mathcal{O}$ ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$ $f_{i}(q,p),\ i=1,...,\dim {\mathfrak {g))$ $1/2\,\dim {\mathcal {O}}$ $pags$ ${\ estilo de visualización (q, \, p)}$ $\mathcal{O}$

Notas

↑ 1 2 3 4 A. A. Kirillov. Elementos de la teoría de la representación. - M. : Nauka, 1978. - 343 p.
↑ 1 2 3 4 5 J. Dixmier. Álgebras envolventes universales. — M .: Mir, 1978. — 407 p.
↑ J. Dixmier, M. Duflo, A. Hajnal, R. Kadison, A. Korányi, J. Rosenberg y Michèle Vergne. Lajos Pukánszky (1928 - 1996) (inglés) // Avisos de la American Mathematical Society. - 1998. - Abril ( vol. 45 , no. 4 ). - Pág. 492 - 499 . — ISSN 1088-9477 .
↑ L. Pukanszky. Sobre la teoría de los grupos exponenciales (inglés) // Transactions of the American Mathematical Society. - 1967. - Marzo ( vol. 126 ). - Pág. 487 - 507 . - ISSN 1088-6850 . -doi : 10.1090 / S0002-9947-1967-0209403-7 .
↑ S. P. Baranovsky, I. V. Shirokov. Deformaciones de campos vectoriales y coordenadas canónicas en las órbitas de la representación coadjunta // Siberian Mathematical Journal. - 2009. - Julio - Agosto ( vol. 50 , No. 4 ). - S. 737 - 745 . — ISSN 0037-4474 . (Ruso)
↑ Hacer Ngoc Diep. Estratos cuánticos de órbitas conjuntas (inglés) // arXiv.org. - 2000. - Mayo. - P. 1 - 27 . — ISSN 2331-8422 .