Representación coadjunta

La representación coadjunta de un grupo de Lie es la representación conjugada al adjunto . Si es el álgebra de Lie del grupo , la acción correspondiente sobre el espacio conjugado se denomina acción coadjunta . Desde un punto de vista geométrico, es la acción de los desplazamientos a la izquierda en el espacio de formas 1 invariantes a la derecha en . $\mathrm {Anuncio} ^{*}$ $GRAMO$ $\mathfrak{g}$ $GRAMO$ $GRAMO$ ${\mathfrak{g}}^{*}$ $\mathfrak{g}$ $GRAMO$

La importancia de la representación coadjunta se destacó en los trabajos de A. A. Kirillov , quien mostró que el concepto de la órbita de la representación coadjunta (órbita K) juega un papel clave en la teoría de la representación de los grupos de Lie nilpotentes . En el método de órbitas de Kirillov , las representaciones se construyen geométricamente, a partir de órbitas K. En cierto sentido, estas últimas sustituyen a las clases de conjugación , que se pueden organizar de forma compleja, mientras que trabajar con órbitas es relativamente sencillo. $GRAMO$ $GRAMO$ $GRAMO$

Definición

Sea un grupo de Lie y sea su álgebra de Lie, sea una representación adjunta de . Entonces la representación coadjunta se define como . Con más precisión, $GRAMO$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Anuncio} :G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g)))$ $GRAMO$ $\mathrm {Anuncio} ^{*}:G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}^{*})$ $\mathrm {Anuncio} _{g}^{*}:=\left(\mathrm {Anuncio} _{g^{-1}}\right)^{*}$

\langle \mathrm {Ad} _{g}^{*}f,\,X\rangle =\langle f,\,\mathrm {Ad} _{g^{-1}}X\rangle , \qquad g\in G,\quad X\in {\mathfrak {g)],\quad f\in {\mathfrak {g))^{*},

donde es el valor de la funcional lineal en el vector . $\langle f,X\rangle$ $F$ $X$

Sea una representación del álgebra de Lie inducida por la representación coadjunta del grupo de Lie . Entonces la igualdad se cumple para , donde es la representación adjunta del álgebra de Lie . Esta conclusión se puede extraer de la forma infinitesimal de la ecuación constitutiva anterior para : $\mathrm {anuncio} ^{*}$ $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak{g}}^{*}$ $GRAMO$ $X\in {\mathfrak{g))$ $\mathrm {anuncio} _{X}^{*}=-\left(\mathrm {anuncio} _{X}\right)^{*}$ $\mathrm {anuncio}$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Anuncio} ^{*}$

\langle \mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,Y\rangle :=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\ langle \mathrm {Ad} _ {\exp(tX)}^{*}f,\,Y\rangle \right|_{t=0}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\ mathrm {d} t}}\langle f,\,\mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}Y\rangle \right|_{t=0}=\langle f,\,-\mathrm { ad} _{X}Y\rangle ,\qquad X,Y\in {\mathfrak {g)],\quad f\in {\mathfrak {g))^{*},

donde es el mapeo exponencial de a . ${\ estilo de visualización \ exp}$ $\matemáticas g$ $GRAMO$

Generadores

Sea una función diferenciable en . Considere el cambio en la función bajo la acción conjunta de un subgrupo de un parámetro en la dirección del vector y diferencie en la identidad del grupo: $\varphi \in C^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ ${\mathfrak{g}}^{*}$ $\varphi$ $e^{tX}\subconjunto G$ $X\in {\mathfrak{g))$

\left.{\frac {\mathrm {d} \varphi (\mathrm {Ad}_{\exp(-tX)}^{*}f)}{\mathrm {d} t}}\right |_{t=0}=\langle \left.{\frac {\mathrm {d} \mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}^{*}f}{\mathrm {d} t} }\right|_{t=0},\,\nabla _{f}\varphi (f)\rangle =-\langle \mathrm {anuncio} _{X}^{*}f,\,\nabla _ {f}\varphi (f)\rangle =\langle f,\,\mathrm {ad} _{X}\nabla _{f}\varphi (f)\rangle .

(una)

Aquí está el gradiente de la función , que se identifica naturalmente con un elemento del álgebra . Elijamos alguna base en álgebra y sea su base recíproca en , es decir , , , donde está el símbolo de Kronecker . Elegimos como vector base . Entonces la igualdad ( 1 ) toma la forma ${\ estilo de visualización \ nabla _ {f} \ varphi}$ $\varphi$ $\mathfrak{g}$ $\{e_{i}\}$ $\mathfrak{g}$ ${\ estilo de visualización \ {e ^ {i} \}}$ ${\mathfrak{g}}^{*}$ $\langle e_{i},\,e_{j}\rangle =\delta _{j}^{i}$ $i,j=1,...,\dim {\mathfrak {g))$ $\delta^i_j$ $X$ $e_{yo}$

{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \varphi (\mathrm {Ad} _{\exp(-te_{i})}^{*}f)}{\mathrm {d} t} }\right|_{t=0}=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\parcial \varphi (f)}{\parcial f_{j))))

(aquí y más abajo , la suma está implícita en los índices repetidos dos veces ), lo que muestra que como base de los generadores de la acción coadjunta, uno puede elegir un conjunto de campos vectoriales

{\sombrero {X}}_{i}=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\parcial }{\parcial f_{j}}},\qquad i=1, ...,\dim {\mathfrak{g}}

donde son las constantes estructurales del álgebra . ${\displaystyle C_{ij}^{k))$ $\mathfrak{g}$

Invariantes

Los invariantes de la acción coadjunta satisfacen el sistema de ecuaciones diferenciales $k$

{\hat {X}}_{i}K\equiv C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\parcial K(f)}{\parcial f_{j}}}= 0,\qquad i=1,...,\dim {\mathfrak {g}}.

(2)

Definimos una forma bilineal antisimétrica en mediante la igualdad ${\ estilo de visualización B_ {f} (X, \, Y)}$ $\mathfrak{g}$

B_{f}(X,\,Y):=\langle f,\,[X,\,Y]\rangle ,\qquad X,Y\in {\mathfrak {g))

El número de ecuaciones independientes en el sistema ( 2 ) es igual a . Sus soluciones en una vecindad de un punto en posición general (es decir, el punto en el que el rango de la forma es máximo) se denominan funciones de Casimiro del álgebra . El número de funciones de Casimir no triviales (no idénticamente constantes) funcionalmente independientes se denomina índice del álgebra y es igual a ${\displaystyle \mathrm {rango} \,B_{f))$ ${\ Displaystyle B_ {f}}$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {g}}-\sup \limits_{f\in {\mathfrak {g}}^{*}}\ mathrm {rango} \,B_{f}

Como el rango de la forma antisimétrica es par, las paridades del índice y la dimensión del álgebra siempre coinciden.

Además de las funciones de Casimiro , definidas en puntos de la posición general del espacio , pueden existir invariantes definidas sobre subvariedades especiales de acción coadjunta, sobre las cuales el rango de la forma es inferior al máximo. Si en una subvariedad invariante especial el rango de la forma es , , entonces las soluciones no constantes del sistema ( 2 ) restringidas a la subvariedad se llaman funciones de Casimir de tipo . El conjunto de funciones independientes forma la base de las invariantes de la acción conjunta: cualquier invariante puede expresarse como una función de los elementos de este conjunto. De la forma del sistema ( 2 ) se sigue que la base de los invariantes siempre puede estar compuesta por funciones homogéneas de las componentes del covector . $K_ {\mu}$ $\mu =1,...,\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak{g}}^{*}$ ${\ Displaystyle B_ {f}}$ $M_{s}\subconjunto {\mathfrak {g}}^{*}$ ${\ Displaystyle B_ {f}}$ $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}-2s$ $s=1,...,(\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}})/2$ $K^{(s)}$ $Milisegundo$ $s$ ${\displaystyle \{K_{\mu },K_{\nu }^{(1)},...,K_{\rho }^{((\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind } \,{\mathfrak{g)))/2)}\))$ $F$

K-órbitas

La órbita de la representación coadjunta, o, brevemente, la órbita K, que pasa por un punto en el espacio dual del álgebra de Lie , puede definirse como la órbita de, o, de manera equivalente, como el espacio homogéneo , donde está el estabilizador del punto con respecto a la acción conjunta del grupo . $\mathcal{O}$ $F$ ${\mathfrak{g}}^{*}$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Anuncio} _{G}^{*}f\subconjunto {\mathfrak {g}}^{*}$ $G/\mathrm {Puñalada} (f)$ $\mathrm {Puñalada} (f)\subconjunto G$ $F$ $GRAMO$

Las órbitas en posición general tienen la máxima dimensión posible igual a , y se denominan no degeneradas o regulares . Tales órbitas se definen en términos de un conjunto arbitrario de funciones de Casimir independientes mediante las ecuaciones $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}$

K_{\mu }(f)=\kappa _{\mu },\qquad \mu =1,...,\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g)).

De manera similar , las órbitas de dimensión degeneradas o singulares , que constituyen subvariedades invariantes singulares , se definen mediante las ecuaciones $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}-2s$ $Milisegundo$

K_{\mu }^{(s)}(f)=\kappa _{\mu }^{(s)},\qquad \mu =1,...,r_{s},

donde es el número de funciones de Casimir independientes de tipo . Si las funciones de Casimir tienen un solo valor, cada conjunto de constantes corresponde a un número contable (por regla general, finito) de órbitas. Los covectores que pertenecen a una órbita (no) degenerada también se denominan ( no ) degenerados . ${\ Displaystyle r_ {s}}$ $s$ ${\ estilo de visualización \ kappa _ {\ mu}^{(s)))$

Uniforme de Kirillov

Las órbitas de la representación coadjunta son subvariedades de dimensión par y tienen una estructura simpléctica natural . Cada órbita tiene una forma 2 cerrada no degenerada e invariante , que se construye de la siguiente manera. Sea la forma bilineal antisimétrica definida arriba en . Entonces se puede definir por la igualdad ${\mathfrak{g}}^{*}$ $\mathcal{O}$ $GRAMO$ $\omega_{\mathcal {O}}$ ${\ Displaystyle B_ {f}}$ $\mathfrak{g}$ $\omega _{\mathcal {O}}\in \mathrm {Hom} (\Lambda ^{2}({\mathcal {O}}),\mathbb {R} )$

\omega _{\mathcal {O}}(\mathrm {anuncio} _{X}^{*}f,\,\mathrm {anuncio} _{Y}^{*}f):=B_{ f}(X,\,Y)

La existencia, la no degeneración y la -invariancia se derivan de los siguientes hechos: $GRAMO$ $\omega_{\mathcal {O}}$

El espacio tangente se puede identificar con , donde es el álgebra de Lie del grupo . $T_{f}({\mathcal {O}})$ ${\mathfrak {g}}/\mathrm {puñalada} (f)$ $\mathrm {puñalada} (f)$ $\mathrm {Puñalada} (f)$

El kernel de visualización es exactamente . ${\ Displaystyle B_ {f}}$ $\mathrm {puñalada} (f)$

${\ Displaystyle B_ {f}}$ invariante bajo la acción . $\mathrm {Puñalada} (f)$

Además, el formulario está cerrado . La forma canónica de 2 se llama forma de Kirillov , Kirillov -Kostant o Kirillov-Kostant- Surio . $\omega_{\mathcal {O}}$ $\omega_{\mathcal {O}}$

La órbita K se llama entera si la forma de Kirillov pertenece a la clase de cohomología de enteros, es decir, su integral sobre cualquier ciclo bidimensional en es igual a un entero: $\mathcal{O}$ $\sigma$ $\mathcal{O}$

\int \limits_{\sigma}\omega_{\mathcal {O}}=n\in Z

Las órbitas enteras juegan un papel central en la construcción de representaciones irreducibles de grupos de Lie por el método de la órbita.

Corchete de Berezin

La forma dota al espacio de la estructura de una variedad de Poisson con un soporte de Lie-Poisson ${\ Displaystyle B_ {f}}$ ${\mathfrak{g}}^{*}$

\{\varphi ,\,\psi \}_{LP}=B_{f}(\mathrm {d} \varphi ,\,\mathrm {d} \psi )=C_{ij}^{k }f_{k}{\frac {\parcial \varphi (f)}{\parcial f_{i))}{\frac {\parcial \psi (f)}{\parcial f_{j))},\qquad \varphi,\psi\en C^{2}({\mathfrak {g}}^{*})

que es un corchete de Poisson degenerado : a partir de la forma de generadores de acción coadjuntos es obvio que las funciones de Casimir (y solo ellas) conmutan con respecto a él con cualquier función en . La restricción de este corchete a las órbitas de la representación coadjunta, llamado corchete de Berezin [1] , no es degenerado y coincide con el corchete de Poisson generado por la forma de Kirillov: ${\mathfrak{g}}^{*}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\,\cdot \}_{\omega _{\mathcal {O))))$

\{\varphi ,\,\psi \}_{\omega_{\mathcal {O}}}=\omega_{\mathcal {O}}(\mathrm {sgrad} \,\varphi ,\ ,\mathrm {sgrad} \,\psi )=\left.\{\varphi ,\,\psi \}_{LP}\right|_{\mathcal {O))

Aquí , hay un campo vectorial hamiltoniano con el hamiltoniano . ${\ estilo de visualización \ mathrm {sgrad} \, \ varphi}$ $\varphi$

Propiedades de las órbitas K

Una acción coadjunta en una órbita K es una acción hamiltoniana con mapeo de momento . $({\mathcal {O}},\omega_{\mathcal {O}})$ ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$
Si la órbita tiene una polarización , entonces la incrustación se puede realizar mediante funciones lineales en las variables , donde están las coordenadas canónicas para la forma de Kirillov en la órbita . [2] [3] $\mathcal{O}$ ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$ $f_{i}(q,p),\ i=1,...,\dim {\mathfrak {g))$ $1/2\,\dim {\mathcal {O}}$ $pags$ ${\ estilo de visualización (q, \, p)}$ $\mathcal{O}$

Ejemplos

Grupo ${\ estilo de visualización E (2)}$

El álgebra de Lie del grupo de movimientos del plano euclidiano está definido por las relaciones de conmutación ${\mathfrak{e}}(2)$ ${\ estilo de visualización E (2)}$

[e_{1},\,e_{2}]=0,\qquad [e_{1},\,e_{3}]=e_{2},\qquad [e_{2},\, e_{3}]=-e_{1}

(los elementos conmutantes y corresponden a traslaciones del plano en la dirección de dos ejes de coordenadas, y el elemento corresponde a la rotación alrededor de algún punto; así, el grupo es tridimensional). En consecuencia, la matriz de forma tiene la forma $e_{1}$ $e_{2}$ $e_{3}$ ${\ estilo de visualización E (2)}$ ${\ Displaystyle B_ {f}}$

(B_{f})={\begin{pmatrix}0&0&f_{2}\\0&0&-f_{1}\\-f_{2}&f_{1}&0\end{pmatrix}}

Su rango es igual a dos en todas partes, excepto en la línea , que es una subvariedad invariante especial de la acción conjunta del grupo en , por lo que las órbitas K no degeneradas son bidimensionales. Por los generadores de esta acción ${\ estilo de visualización f_ {1} = f_ {2} = 0}$ $M_{1}$ ${\ estilo de visualización E (2)}$ ${\mathfrak{e}}(2)^{*}$

{\displaystyle {\sombrero {X}}_{1}=f_{2}{\frac {\parcial }{\parcial f_{3}}},\qquad {\sombrero {X}}_{2}= -f_{1}{\frac {\parcial }{\parcial f_{3}}},\qquad {\hat {X}}_{3}=-f_{2}{\frac {\parcial }{\ parcial f_{1))}+f_{1}{\frac {\parcial }{\parcial f_{2))))

se escriben dos ecuaciones independientes

f_{2}{\frac {\parcial K(f)}{\parcial f_{3))}=-f_{2}{\frac {\parcial K(f)}{\parcial f_{1 ))}+f_{1}{\frac {\parcial K(f)}{\parcial f_{2))}=0,\qquad f_{1}^{2}+f_{2}^{2} \neq 0

definiendo una función única de Casimir. Variedades no singulares de su nivel

K(f)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}=\kappa \equiv j^{2},\qquad j\neq 0

cada uno de los cuales consta de una órbita, son cilindros con un eje común . La variedad de nivel singular ( ) coincide con y consiste en órbitas singulares (de dimensión cero) , . Forma de Kirillov $M_{1}$ $j=0$ $M_{1}$ ${\ estilo de visualización f_ {1} = f_ {2} = 0}$ ${\displaystyle f_{3}=\kappa^{(1)))$

\omega_{\mathcal {O}}={\frac {\mathrm {d} f_{3}\cuña \mathrm {d} f_{2}}{f_{1}}}

reducido a forma canónica en coordenadas cilíndricas, restringido a una órbita fija : $\omega_{\mathcal {O}}=\mathrm {d} p\cuña \mathrm {d} q$ ${\ estilo de visualización j = constante}$

f_{1}=j\cos q,\qquad f_{2}=j\sin q,\qquad f_{3}=p

Tenga en cuenta que la transición a las variables canónicas en este caso es lineal en . La posibilidad de una transición lineal en "momentum" está garantizada por la presencia en la subálgebra bidimensional de traslaciones generadas por los vectores , que, debido a su conmutatividad, es una polarización para cualquier órbita K no degenerada. $pags$ $q$ $pags$ ${\mathfrak{e}}(2)$ $e_{1}$ $e_{2}$

Grupo $SO(3)$

$SO(3)$ es el grupo (tridimensional) de rotaciones del espacio euclidiano tridimensional. Relaciones de conmutación en su álgebra de Lie ${\mathfrak {entonces}}(3)$

[e_{1},\,e_{2}]=e_{3},\qquad [e_{1},\,e_{3}]=-e_{2},\qquad [e_{2 },\,e_{3}]=e_{1}

(cada vector base corresponde a un generador de rotación en uno de los tres planos mutuamente perpendiculares) determine la forma de la matriz de forma : ${\ Displaystyle B_ {f}}$

(B_{f})={\begin{pmatrix}0&f_{3}&-f_{2}\\-f_{3}&0&f_{1}\\f_{2}&-f_{1}&0 \end{matrix}}

De los tres generadores de la representación coadjunta en cada punto , solo dos son linealmente independientes, por lo que las órbitas no singulares son bidimensionales. son esferas concentricas $f\in {\mathfrak {so}}(3)^{*}\barra invertida \{0\}$

K(f)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+f_{3}^{2}=\kappa \equiv j^{2},\qquad j\neq 0

centrado en el origen. Una subvariedad especial consta de un punto , ya que solo en él los tres generadores se vuelven cero. $M_{1}$ $\{0\}$

Dado que no hay subálgebras bidimensionales en álgebra, los covectores regulares no tienen polarizaciones; en consecuencia, la incrustación de órbitas regulares en el espacio no puede realizarse mediante funciones que son lineales en variables canónicas para la forma de Kirillov. ${\mathfrak {entonces}}(3)$ ${\mathfrak {entonces}}(3)^{*}$ $pags$

\omega_{\mathcal {O}}={\frac {\mathrm {d} f_{1}\cuña \mathrm {d} f_{2}}{f_{3}}}

Sin embargo, hay subálgebras bidimensionales (complejas) subordinadas a covectores no degenerados en la complejidad del álgebra . Por ejemplo, para un covector, esta es la subálgebra , por lo que tal incrustación es posible a través de variables que toman valores complejos: ${\mathfrak {entonces}}(3)^{\mathbb {C}} }$ ${\mathfrak {entonces}}(3)$ ${\ estilo de visualización j \, e ^ {3))$ $\{e_{1}+ie_{2},\,e_{3}\}$

f_{1}={\frac {i}{2}}\left(1-q^{2}\right)p+j\,q,\qquad f_{2}=-{\frac { 1}{2}}\left(1+q^{2}\right)p-ij\,q,\qquad f_{3}=-i\,q\,p+j,\qquad q,\ p \in \mathbb {C} ,\quad |p|\leqslant j

Es fácil comprobar que esta transformación realmente lleva la forma a la forma canónica. $\omega_{\mathcal {O}}$

Véase también

Vista adjunta
Método de la órbita de Kirillov
Teorema de Borel-Weyl-Bott
Fórmula de carácter de Kirillov

Literatura

A. A. Kirillov. Elementos de la teoría de la representación. - M. : Nauka, 1978. - 343 p.
Kirillov, AA, Lectures on the Orbit Method , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 64, Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0821835300 , ISBN 978-0821835302

Notas

↑ A. V. Borisov, I. S. Mamaev. Soportes de Dirac en geometría y mecánica. En el libro: Dirac P. A. M. Conferencias sobre física teórica. - Izhevsk: Centro de Investigación "Dinámica Regular y Caótica", 2001. - P. 191 - 230. - 240 p. — ISBN 5-93972-026-9 .
↑ S. P. Baranovsky, I. V. Shirokov. Deformaciones de campos vectoriales y coordenadas canónicas en las órbitas de la representación coadjunta // Siberian Mathematical Journal. - 2009. - Julio - Agosto ( vol. 50 , No. 4 ). - S. 737-745 . — ISSN 0037-4474 . (Ruso)
↑ Hacer Ngoc Diep. Estratos cuánticos de órbitas conjuntas (inglés) // arXiv.org. - 2000. - Mayo. - Pág. 1-27 . — ISSN 2331-8422 .

Enlaces

Coadjoint orbit (inglés) en el sitio web de PlanetMath .