Orden de Sharkovsky

El orden de Sharkovsky es un ordenamiento de números naturales asociado con el estudio de puntos periódicos de sistemas dinámicos en un segmento o en una línea real.

Historia

Al explorar los mapeos unimodales, en particular, el mapeo cuadrático , Alexander Nikolaevich Sharkovskii descubrió en 1964 que en la región del "caos" en el diagrama de bifurcación correspondiente hay las llamadas "ventanas de periodicidad": intervalos estrechos de los valores del parámetro , en el que hay movimientos periódicos; corresponden a transiciones en el orden de Sharkovsky. En particular, moviéndose en la fila inferior contra la dirección de las flechas desde 1, pasamos por una cascada de duplicaciones de los períodos de Feigenbaum . $r$

Redacción

Para enteros positivos y escribiremos si un sistema dinámico sobre un segmento o una recta que tiene un punto de menor periodo a tiene un punto de menor periodo b . $a$ $b$ $de la A, a la B$

El teorema de Sharkovsky establece que de esta forma se da un orden completo sobre el conjunto de los números naturales, ordenado de la siguiente manera:

→ 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → … → 3x2 → 5x2 → 7x2 → 9x2 → 11x2 → 13x2 → … → 3x2² → 5x2² → 7x2² → 9x2² → 11x2² → 13x2² → … ……………………………………… → 2 norte → 2 norte −1 → … → 2 5 → 2 4 → 2³ → 2² → 2 → 1.

La línea superior contiene todos los números impares en orden ascendente excepto el 1, la segunda línea contiene los productos de los números impares (excepto el 1) por 2, la tercera línea contiene los productos de los números impares por 2² y la k-ésima línea desde arriba contiene el productos de números impares por . Finalmente, la última línea (inferior) representa potencias puras de dos. $2^{k-1}$

El período 3 trae el caos

En particular, el número 3 es el más grande en el sentido de este ordenamiento, por lo que la presencia de un punto de período 3 implica la presencia de un punto con cualquier período. A menudo, este caso particular se abrevia como "el período 3 trae el caos". El caso de un punto periódico del período 3 es el más significativo. Si hay un punto del período 3, se puede afirmar que el sistema es “caótico” en otros sentidos; por ejemplo, la entropía topológica del sistema será positiva.

Bosquejo de la prueba

En este caso, hay diferentes puntos para los cuales $a B C$

f(a)=b,\quad f(b)=c,\quad f(c)=a.

Se puede suponer sin pérdida de generalidad que . $a<b<c$

Entonces para segmentos y $I_{0}=[a,b]$ ${\ estilo de visualización I_ {1} = [b, c]}$

f(I_{0})\supset I_{1},\quad f(I_{1})\supset I_{0}\cup I_{1}.

De aquí es fácil deducir que para cualquier palabra finita , compuesta de ceros y unos y que no contenga dos ceros seguidos, existe un intervalo tal que ${\displaystyle w=w_{0}w_{1}\dots w_{k-1))$ $yo_w$

f^{j}(I_{w})\subconjunto I_{w_{j)),\quad j=1,\dots,k-2,

f^{k-1}(I_{w})=I_{w_{k-1}}.

A partir de aquí ya es fácil construir un punto periódico de cualquier período : basta con tomar en el alfabeto de ceros y unos cualquier palabra periódica del período más pequeño sin dos ceros seguidos. Para el segmento que le corresponde , $k$ ${\ estilo de visualización \ omega = (w), \ | w | = k}$ $k$ $yo_w$

f^{k}(I_{w})\supset I_{w},

por lo tanto, en este segmento hay un punto periódico del período correspondiente. Finalmente, en términos de dinámica simbólica (por desdoblamiento , complemento), su destino es la secuencia , que tiene el período más pequeño, por lo tanto, también es el período más pequeño para el punto construido. $yo_0$ $yo_1$ $\omega$ $k$ $k$

Literatura

Sharkovskiy AN Coexistencia de ciclos de transformación continua de una línea en sí misma // Revista matemática ucraniana. - 1964. - T. 16 , N º 1 . - S. 61-71 .
Sharkovskii A. N., Kolyada S. F., Spivak A. G., Fedorenko V. V. Dinámica de mapeos unidimensionales. - Kyiv: Naukova Dumka, 1989. - 216 p.
Danilov Yu. A. Conferencias sobre dinámica no lineal. Introducción elemental. - M. : Postmarket, 2001. - 184 p.

Enlaces

Teorema de Klimenko A. V. Sharkovsky (parte 1) + (parte 2) en YouTube